Giải Bài Toán Tìm Điều Kiện Để Phương Trình F(x) = G(m) Có N Nghiệm Liên Quan Đến Giá Trị Tuyệt Đối

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH f(x) = g(m) CÓ n NGHIỆM KHI CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài viết này tập trung vào phương pháp giải các bài toán tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) có một số nghiệm n xác định, đặc biệt khi phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đây là một dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12, liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải quyết bài toán này, có hai phương pháp chính thường được sử dụng:

Sử dụng đồ thị hàm số trị tuyệt đối: Vẽ đồ thị của hàm số liên quan đến phương trình, sau đó dựa vào số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y = g(m) để xác định điều kiện của m.
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

|A| = A khi A ≥ 0

-A khi A < 0

Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta khảo sát sự biến thiên của hàm số để xác định điều kiện tham số cần tìm.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình |x – 1|(x² – 2x) = m:

a) Có nghiệm.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có ba nghiệm phân biệt.
d) Có bốn nghiệm phân biệt.

Cách 1: Sử dụng đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị hàm số y = |x – 1|(x² – 2x). Quan sát đồ thị, ta có:

Phương trình có nghiệm khi m ≥ -2.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m = -2 hoặc m > 0.
Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi m = 0.
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi -2 < m < 0.

Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và khảo sát hàm số

Đặt t = |x – 1| ≥ 0. Khi đó, phương trình trở thành |x – 1|[(x – 1)² – 3] = m, hay t(t² – 3) = m. Xét hàm số f(t) = t³ – 3t với t ≥ 0. Ta có f'(t) = 3t² – 3 = 0 ⇔ t = 1 (t = -1 loại). Bảng biến thiên của hàm số:

(Bảng biến thiên được cung cấp trong nội dung gốc)

Từ bảng biến thiên, ta có thể suy ra kết quả tương tự như cách 1.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình |x⁴ – 2x² – 3| = 2m + 3 thỏa mãn:

a) Có năm nghiệm phân biệt.
b) Có bốn nghiệm phân biệt.
c) Có sáu nghiệm phân biệt.
d) Có hai nghiệm phân biệt.

Vẽ đồ thị hàm số y = |x⁴ – 2x² – 3|. Từ đồ thị, ta có:

Phương trình có năm nghiệm phân biệt khi 2m + 3 = 3 ⇔ m = 0.
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi 0 < 2m + 3 < 3 hoặc 2m + 3 = 4 ⇔ -3/2 < m < 0 hoặc m = 1/2.
Phương trình có sáu nghiệm phân biệt khi 3 < 2m + 3 < 4 ⇔ 0 < m < 1/2.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2m + 3 = 0 hoặc 2m + 3 > 4 ⇔ m = -3/2 hoặc m > 1/2.

Ví dụ 3, 4, 5: (Nội dung tương tự như trong bài gốc, tập trung vào việc sử dụng đồ thị và khảo sát hàm số để tìm điều kiện của tham số m)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện và đáp án được cung cấp trong nội dung gốc)

NHẬN XÉT CHUNG:

Bài viết cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về phương pháp giải các bài toán tìm điều kiện của tham số m trong phương trình có giá trị tuyệt đối. Việc kết hợp cả hai phương pháp (sử dụng đồ thị và bỏ dấu giá trị tuyệt đối) giúp người học có cái nhìn toàn diện và linh hoạt hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự. Các ví dụ minh họa được trình bày rõ ràng, cùng với các bài tập tự luyện đa dạng, giúp người học củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.