Giải Bài Toán Bài Toán Tương Giao Hàm Bậc Ba Chứa Tham Số

Phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan bài toán tương giao của hàm bậc ba trong chương trình Giải tích 12

Bài viết này hướng dẫn phương pháp giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của hàm bậc ba, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12, đặc biệt khi ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải toán

Để giải quyết bài toán tương giao của hàm bậc ba, ta cần nắm vững các phương pháp và lưu ý sau:

a) Xét hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị $(C).$ Việc xác định số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$ phụ thuộc vào điều kiện sau:

Số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$	Điều kiện
Có ba giao điểm phân biệt	Hàm số có hai cực trị ${x_1}$, ${x_2}$ và $f({x_1}).f({x_2}) < 0$
Có hai giao điểm phân biệt	Hàm số có hai cực trị ${x_1}$, ${x_2}$ và $f({x_1}).f({x_2}) = 0$
Có một giao điểm	Hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị ${x_1}$, ${x_2}$ và $f({x_1}).f({x_2}) > 0$

b) Trong nhiều bài toán, việc xác định trực tiếp các giá trị $f({x_1})$ và $f({x_2})$ có thể gặp khó khăn. Khi đó, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm cô lập tham số $m$. Các bước thực hiện như sau:

Biến đổi phương trình $f(x) = 0$ thành $Am + B = 0.$
Giải hệ điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = 0}\\ {B = 0} \end{array}} \right.\}$ để tìm nghiệm ${x_0}.$
Phương trình $Am + B = 0$ tương đương với $(x – {x_0})g(x) = 0$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – {x_0} = 0}\\ {g(x) = 0} \end{array}} \right..$\)

Từ đó, ta biện luận phương trình bậc hai $g(x) = 0$ để xác định điều kiện của tham số cần tìm.

Chú ý: Trong trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có dạng $A{m^2} + Bm + C = 0$, ta làm tương tự bằng cách giải hệ điều kiện $A = B = C = 0$ để tìm nhân tử chung.

c) Ngoài hai cách trên, ta có thể áp dụng phương pháp cô lập $m$ đã được đề cập trong các chuyên đề khác.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $f(x) = {x^3} – 3x + {m^2} + m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Ta có $f'(x) = 3{x^2} – 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..$\) Do đó hàm số có hai cực trị là ${x_1} = 1$, ${x_2} = – 1.$ Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, ta cần $f(1).f( – 1) < 0.$ $\Leftrightarrow \left( {{m^2} + m – 2} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) < 0$ $\Leftrightarrow {m^2} + m – 2 < 0$ $\Leftrightarrow – 2 < m < 1.$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6$: a) Cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. b) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Ta có $f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6$ có $f'(x) = 3{x^2} – 6x = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right..$\) Do đó hàm số có hai cực trị là ${x_1} = 0$, ${x_2} = 2.$ a) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta cần $f(0).f(2) = 0.$ $\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 3}\\ {m = 5} \end{array}} \right..$ b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm duy nhất, ta cần $f(0).f(2) > 0.$ $\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) > 0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 5}\\ {m < 3} \end{array}} \right..$

III. Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm (đã cung cấp trong nội dung gốc) giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

IV. Bài tập tự luyện

Bài tập tự luyện (đã cung cấp trong nội dung gốc) cung cấp thêm cơ hội để học sinh tự kiểm tra và nâng cao khả năng giải quyết các bài toán tương giao của hàm bậc ba.

V. Đáp án bài tập tự luyện

Đáp án bài tập tự luyện (đã cung cấp trong nội dung gốc) giúp học sinh đối chiếu và đánh giá kết quả làm bài của mình.