Bài viết hướng dẫn phương pháp ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cách 1:
+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị.
+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Cách 2:
+ Vẽ các đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.
+ Từ đồ thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ba hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\), \(y = h(x)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(S = \int_a^b {[f(x) – g(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
B. \(S = \int_a^b {[f(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[g(x) – h(x)]dx} .\)
C. \(S = \int_a^b {[g(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
D. \(S = \int_a^b {[f(x) – g(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[g(x) – h(x)]dx} .\)
Lời giải:
Từ đồ thị ta có:
\(S = {S_1} + {S_2}\) \( = \int_a^b {[g(x) – h(x)]dx} \) \( + \int_b^c {[f(x) – h(x)]dx} .\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = – {x^2} + 3x\), \(y = x + 1\), \(y = – x + 4\) bằng:
A. \(\frac{1}{{12}}.\)
B. \(\frac{1}{6}.\)
C. \(\frac{1}{4}.\)
D. \(\frac{1}{3}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\( – {x^2} + 3x = x + 1\) \( \Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\( – {x^2} + 3x = – x + 4\) \( \Leftrightarrow – {x^2} + 4x – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(x + 1 = – x + 4\) \( \Leftrightarrow 2x – 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_1^{\frac{3}{2}} {\left| { – {x^2} + 3x – x – 1} \right|dx} \) \( + \int_{\frac{3}{2}}^2 {\left| { – {x^2} + 3x + x – 4} \right|dx} \) \( = \int_1^{\frac{3}{2}} {{{(x – 1)}^2}} dx\) \( + \int_{\frac{3}{2}}^2 {{{(x – 2)}^2}} dx.\)
\( = \left. {\frac{{{{(x – 1)}^3}}}{3}} \right|_1^{\frac{3}{2}}\) \( + \left. {\frac{{{{(x – 2)}^3}}}{3}} \right|_{\frac{3}{2}}^2\) \( = \frac{1}{{12}}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\), \(y = \frac{{54}}{x}\) bằng:
A. \(\frac{{63}}{2} – 54\ln 2.\)
B. \(54\ln 2.\)
C. \( – \frac{{63}}{2} + 54\ln 2.\)
D. \(\frac{{63}}{4}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2{x^2} = \frac{{54}}{x} \Leftrightarrow x = 3.\)
\(\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{54}}{x} \Leftrightarrow x = 6.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^3 {\left| {2{x^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} \) \( + \int_3^6 {\left| {\frac{{54}}{x} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} \) \( = \left| {\int_0^3 {\left( {2{x^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} } \right|\) \( + \left| {\int_3^6 {\left( {\frac{{54}}{x} – \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx} } \right|.\)
\( = \left| {\left. {\frac{{7{x^3}}}{{12}}} \right|_0^3} \right| + \left| {\left. {\left( {54\ln x – \frac{{{x^3}}}{{12}}} \right)} \right|_3^6} \right|\) \( = 54\ln 2.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x}\), \(y = 3\), \(y = 1 – 2x\) bằng:
A. \(5 – 3\ln 3.\)
B. \(3\ln 3 – 5.\)
C. \(3\ln 3 – 1.\)
D. \(S = 3\ln 3 + 2e – 5.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\({e^x} = 3 \Leftrightarrow x = \ln 3.\)
\(3 = 1 – 2x \Leftrightarrow x = – 1.\)
\({e^x} = 1 – 2x\) \( \Leftrightarrow {e^x} + 2x – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) (vì \(f(x) = {e^x} + 2x – 1\) đồng biến trên \(R\) và \(x=0\) là một nghiệm của phương trình \({e^x} + 2x – 1 = 0\)).
Diện tích:
\(S = \int_{ – 1}^0 {\left| {3 – (1 – 2x)} \right|dx} \) \( + \int_0^{\ln 3} {\left| {3 – {e^x}} \right|dx} .\)
\( = \left| {\int_{ – 1}^0 {(2 + 2x)dx} } \right|\) \( + \left| {\int_0^{\ln 3} {\left( {3 – {e^x}} \right)dx} } \right|.\)
\( = 3\ln 3 – 1.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \), \(y = 2 – x\), \(y = 0\) bằng:
A. \(\frac{4}{3}.\)
B. \(\frac{7}{6}.\)
C. \(\frac{1}{6} + \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)
D. \(\frac{{13}}{3}.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(\sqrt x = 2 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 2}\\
{x = {{(2 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\(\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 | \sqrt x – (2 – x)|dx\) \( + \int_1^2 | 2 – x|dx\) \( = \left| {\int_0^1 {(\sqrt x – 2 + x)} dx} \right|\) \( + \left| {\int_1^2 {(2 – x)dx} } \right|.\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} – 2x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right|\) \( + \left| {\left. {\left( {2x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|\) \( = \frac{4}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P):y = {x^2} – x – 2\) và các tiếp tuyến của \((P)\) tại các giao điểm của \((P)\) với trục hoành bằng:
A. \({\frac{{63}}{4}.}\)
B. \({\frac{{63}}{8}.}\)
C. \({\frac{{117}}{8}.}\)
D. \({\frac{9}{4}.}\)
Lời giải:
Viết các tiếp tuyến:
\(y = {x^2} – x – 2\) \( \Rightarrow y’ = 2x – 1.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) với \(Ox:\)
\({x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}\\
{x = 2 \Rightarrow y'(2) = 3}
\end{array}} \right..\)
Tại \(M( – 1;0)\), \(y'( – 1) = – 3\), phương trình tiếp tuyến là: \(y=-3x-3.\)
Tại \(N(2;0)\), \(y'(2) = 3\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3x – 6.\)
Tìm các hoành độ giao điểm:
\({x^2} – x – 2 = – 3x – 3\) \( \Leftrightarrow x = – 1.\)
\({x^2} – x – 2 = 3x – 6\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\( – 3x – 3 = 3x – 6\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {\left| {{x^2} – x – 2 – ( – 3x – 3)} \right|dx} \) \( + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {{x^2} – x – 2 – (3x – 6)} \right|dx} .\)
\( = \int_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {{{(x + 1)}^2}} dx\) \( + \int_{\frac{1}{2}}^2 {{{(x – 2)}^2}} dx\) \( = \left. {\frac{{{{(x + 1)}^3}}}{3}} \right|_{ – 1}^{\frac{1}{2}}\) \( + \left. {\frac{{{{(x – 2)}^3}}}{3}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\) \( = \frac{9}{4}.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 3x – {x^2}\) và \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{x}{2}}&{{\rm{khi}}\:\:x \le 2}\\
{x – 3}&{{\rm{khi}}\:\:x /> 2}
\end{array}} \right.\) có diện tích là:
A. \(S = \frac{2}{3}.\)
B. \(S = \frac{8}{3}.\)
C. \(S = 4.\)
D. \(S = 6.\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(3x – {x^2} = – \frac{x}{2}\) \((x \le 2)\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
\(3x – {x^2} = x – 3\) \((x /> 2)\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
\( – \frac{x}{2} = x – 3 \Leftrightarrow x = 2.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^2 {\left( {3x – {x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} \) \( + \int_2^3 {\left( {3x – {x^2} – x + 3} \right)dx} = 6.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {3x} \), \(y = 6 – x\) và trục \(Ox.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(S = \int_0^6 {(\sqrt {3x} – 6 + x)dx} .\)
B. \(S = \int_0^6 {\sqrt {3x} dx} + \int_0^6 {(6 – x)dx} .\)
C. \(S = \int_0^3 {\sqrt {3x} } dx + \int_3^6 {(6 – x)dx} .\)
D. \(S = \int_0^6 {(6 – x – \sqrt {3x} )dx} .\)
Lời giải:
Tìm các hoành độ giao điểm:
\(\sqrt {3x} = 6 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6 – x \ge 0}\\
{3x = {{(6 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
\(\sqrt {3x} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
\(6 – x = 0 \Leftrightarrow x = 6.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^3 | \sqrt {3x} – 0|dx\) \( + \int_3^6 | 6 – x – 0|dx\) \( = \int_0^3 {\sqrt {3x} } dx + \int_3^6 {(6 – x)dx} .\)
Chọn đáp án C.
III. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong \(y = {x^2}\) \((x \ge 0)\), đường thẳng \(y = 3 – 2x\) và trục hoành bằng:
A. \(\frac{5}{{12}}.\)
B. \(\frac{{23}}{{12}}.\)
C. \(\frac{7}{8}.\)
D. \(\frac{7}{{12}}.\)
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2x} \), \(y = 4 – x\) và trục \(Ox\) bằng:
A. \(\frac{{17}}{3}.\)
B. \(\frac{{16}}{3}.\)
C. \(\frac{{14}}{3}.\)
D. \(\frac{{13}}{3}.\)
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3}\), \(y = 2 – x\) và \(y = 0\) bằng:
A. \({\frac{3}{4}.}\)
B. \({\frac{{11}}{4}.}\)
C. \({\frac{7}{2}.}\)
D. \({\frac{5}{2}.}\)
Câu 4: Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2}\), \(y = \frac{{{x^2}}}{{27}}\), \(y = \frac{{27}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
B. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{27}}{x}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
C. \(S = \int_0^3 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – {x^2}} \right|dx} .\)
D. \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{27}}{x}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai nhánh đường cong \(y = {x^2}\) \((x \ge 0)\), \(y = 4{x^2}\) \((x \ge 0)\) và đường thẳng \(y=4\) bằng?
A. \({\frac{8}{3}.}\)
B. \({\frac{{14}}{3}.}\)
C. \(7.\)
D. \({\frac{{17}}{3}}.\)
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | C | A | A | A |
3. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = 3 – 2x\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(3 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 0} \right|dx} \) \( + \int_1^{\frac{3}{2}} | 3 – 2x – 0|dx\) \( = \frac{7}{{12}}.\)
Chọn đáp án D.
Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\sqrt {2x} = 4 – x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 4}\\
{2x = {{(4 – x)}^2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(4 – x = 0 \Leftrightarrow x = 4.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^2 | \sqrt {2x} – 0|dx\) \( + \int_2^4 | 4 – x – 0|dx\) \( = \frac{{14}}{3}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
\(2 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
\({x^3} = 2 – x \Leftrightarrow x = 1.\)
Diện tích:
\(S = \int_0^1 {\left| {{x^3} – 0} \right|dx} \) \( + \int_1^2 | 2 – x|dx = \frac{3}{4}.\)
Chọn đáp án A.
Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = \frac{{{x^2}}}{{27}} \Leftrightarrow x = 0.\)
\(\frac{{{x^2}}}{{27}} = \frac{{27}}{x} \Leftrightarrow x = 9.\)
\(\frac{{27}}{x} = {x^2} \Leftrightarrow x = 3.\)
Diện tích: \(S = \int_0^3 {\left| {{x^2} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} \) \( + \int_3^9 {\left| {\frac{{27}}{x} – \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right|dx} .\)
Chọn đáp án A.
Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^2} = 4\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)
\(4{x^2} = 4\) \((x \ge 0)\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
\({x^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow x = 0.\)
Diện tích: \(S = \int_0^1 {\left| {4{x^2} – {x^2}} \right|dx} \) \( + \int_1^2 {\left| {4 – {x^2}} \right|dx} = \frac{8}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Bài toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong.
