Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số.
1. Bài tập minh họa
Bài 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên sau:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(( – \infty ;5).\)
B. \((0;2).\)
C. \((2; + \infty ).\)
D. \((0; + \infty ).\)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) là đường đi lên theo chiều từ trái sang phải trên khoảng \((2; + \infty ).\)
Chọn đáp án C.
Bài 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
A. \(( – 1;1).\)
B. \((0;1).\)
C. \((4; + \infty ).\)
D. \(( – \infty ;2).\)
Dựa vào BBT ta có hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trong khoảng \((0;1).\)
Chọn đáp án B.
Bài 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;1).\)
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;3).\)
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2; + \infty ).\)
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((3; + \infty ).\)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng \((0;3)\) hàm số sẽ đồng biến trên khoảng \((0;1)\) và \((2;3).\)
Chọn đáp án B.
Bài 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị hàm số như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên \(R.\)
B. Hàm số nghịch biến trên \((1; + \infty ).\)
C. Hàm số đồng biến trên \(( – 1; + \infty ).\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(( – \infty ; – 1).\)
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên \(( – \infty ; – 1).\)
Chọn đáp án D.
Bài 5. Cho hàm số \(y = f(x).\) Đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) như hình bên:
Đặt \(h(x) = f(x) – \frac{{{x^2}}}{2}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số \(y = h(x)\) đồng biến trên khoảng \((-2;3).\)
B. Hàm số \(y = h(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;4).\)
C. Hàm số \(y = h(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;1).\)
D. Hàm số \(y = h(x)\) nghịch biến trên khoảng \((2;4).\)
Ta có \(h'(x) = f'(x) – x.\)
Từ đồ thị của \(f'(x)\) và đường thẳng \(y = x\) ta suy ra trên khoảng \((2;4)\) thì đồ thị \(f'(x)\) nằm dưới đường thẳng \(y = x.\) Do đó \(h'(x) < 0\) trên \((2;4).\)
Chọn đáp án D.
2. Bài tập tự luyện
Bài 1. Hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(R\backslash \{ 2\} .\)
B. Hàm số đồng biến trên \(( – \infty ;2)\) và \((2; + \infty ).\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(( – \infty ;2)\) và \((2; + \infty ).\)
D. Hàm số nghịch biến trên \(R.\)
Bài 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;2)\) và \((2; + \infty ).\)
B. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;1) \cup (1; + \infty ).\)
C. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(R.\)
D. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;1)\) và \((1; + \infty ).\)
Bài 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây:
Số mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
I. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-3;-2).\)
II. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( – \infty ;5).\)
III. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( – 2; + \infty ).\)
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( – \infty ; – 2).\)
A. \(2.\)
B. \(3.\)
C. \(4.\)
D. \(1.\)
Bài 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên \((-1;1).\)
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1; + \infty ).\)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1; + \infty ).\)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \((0;1).\)
Bài 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty ).\)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1).\)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;0).\)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1).\)
Bài 6. Cho hàm số \(f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình bên dưới.
Xét các mệnh đề sau:
(I) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;1)\) và \((1; + \infty ).\)
(II) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( – \infty ; – 1)\) và \((1; + \infty ).\)
(III) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
Số các mệnh đề đúng là:
A. \(2.\)
B. \(1.\)
C. \(0.\)
D. \(3.\)
Bài 7. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(( – 1;0).\)
B. \((1; + \infty ).\)
C. \(( – \infty ; – 2).\)
D. \(( – 2;1).\)
Bài 8. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(R\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây, hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \(( – \infty ;0)\).
B. \(( – \infty ; – 1)\).
C. \((1; + \infty )\).
D. \(( – 1;1).\)
Bài 9. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(R\) và có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(( – \infty ; – 1).\)
B. \(( – 1;1).\)
C. \(( – \infty ;0).\)
D. \((0; + \infty ).\)
Bài 10. Hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Hàm số \(y = -f(x)\) đồng biến trên khoảng:
A. \(( – 2; + \infty ).\)
B. \(( – \infty ;1).\)
C. \(( – \infty ;0).\)
D. \(( – 1; + \infty ).\)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. C.
2. D.
3. D.
4. C.
5. D.
6. B.
7. A.
8. C.
9. A.
10. D.
Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số.
