Bài viết hướng dẫn giải các bài toán có liên quan đến việc xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.
1. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Kết quả 1: Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng \((ABC)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\)
Kết quả 2: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương cho trước.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec c \bot \vec a}\\
{\vec c \bot \vec b}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \(\vec c = [\vec a,\vec b].\)
Kết quả 3: Hai mặt phẳng \((\alpha )\), \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \({\vec n_\alpha }\) và \({\vec n_\beta }.\)
\((\alpha )//(\beta )\) \( \Rightarrow {\vec n_\alpha }\) và \({\vec n_\beta }\) cùng phương.
\((\alpha ) \bot (\beta )\) \( \Leftrightarrow {\vec n_\alpha } \bot {\vec n_\beta }.\)
2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua ba điểm \(A(1;1;2)\), \(B(2;1;1)\) và \(C(0;-1;3).\)
A. \((P):x+y+z-4=0.\)
B. \((P):x+2y+z-5=0.\)
C. \((P):x+z-2=0.\)
D. \((P):x+z-3=0.\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)\), \(\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(1;1;2)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\) \( = ( – 2;0; – 2)\), có phương trình \((P): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0\) \( \Leftrightarrow x + z – 3 = 0.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((MNP)\) biết \(M(1;0;1)\), \(N(2;1;-1)\) và \(P(0;1;2).\)
A. \(2x+z-3=0.\)
B. \(x+y+z-2=0.\)
C. \(3x + y + 2z-5=0.\)
D. \(3x +y +2z-1=0.\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = (1;1; – 2)\), \(\overrightarrow {MP} = ( – 1;1;1).\)
Mặt phẳng \((MNP)\) qua \(M(1;0;1)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = (3;1;2)\) có phương trình:
\((MNP):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A(1;0;1)\) và hai mặt phẳng \((P):x+y-2z=0\), \((Q):-x+y+z+5=0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(A\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q).\)
A. \(x+ 2z-3=0.\)
B. \(2x+y – 2z-1=0.\)
C. \(3x + y + 2z – 4=0.\)
D. \(3x + y + 2z-5=0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (1;1; – 2).\)
Mặt phẳng \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_Q} = ( – 1;1;1).\)
Gọi \({\vec n_\alpha }\) là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha ).\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_p}}\\
{{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_Q}}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = (3;1;2).\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(A(1;0;1)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_\alpha } = (3;1;2)\), có phương trình \((\alpha ):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(H(1;1;2)\) và hai mặt phẳng \((P):x-z+1=0\), \((Q):-x-2y+z+1=0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(H\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q).\)
A. \(x + 2z – 3=0.\)
B. \(x+z-3=0.\)
C. \(x + z + 3 = 0.\)
D. \(3x + y + 2z – 5 = 0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_p} = (1;0; – 1).\)
Mặt phẳng \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_Q} = ( – 1; – 2;1).\)
Gọi \({\vec n_\alpha }\) là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha ).\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_P}}\\
{{{\vec n}_\alpha } \bot {{\vec n}_Q}}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = ( – 2;0; – 2).\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) qua \(H(1;1;2)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_\alpha } = ( – 2;0; – 2)\) có phương trình \((\alpha ): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0\) \( \Leftrightarrow x + z – 3 = 0.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;3;2)\), \(B( – 1;1;0)\) và mặt phẳng \((\alpha ):x – 4y – z + 10 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)
A. \(x + 2z – 3 = 0.\)
B. \(3x + 2y – 5z + 1 = 0.\)
C. \(3x + 2y – 5z – 2 = 0.\)
D. \(3x + y + 2z – 5 = 0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_\alpha } = (1; – 4; – 1)\) và \(\overrightarrow {AB} = ( – 2; – 2; – 2).\)
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot {{\vec n}_\alpha }}\\
{{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} }
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec n}_\alpha },\overrightarrow {AB} } \right] = (6;4; – 10).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(B(-1;1;0)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (6;4; – 10)\), có phương trình:
\((P):6(x + 1) + 4(y – 1) – 10(z – 0) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 2y – 5z + 1 = 0.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A(1;2;1)\), \(B( – 1;4; – 1)\) và song song với trục \(Ox.\)
A. \(x + 2y + z – 8 = 0.\)
B. \(y + z – 5 = 0.\)
C. \(y + z – 3 = 0.\)
D. \(3x + y + z – 1 = 0.\)
Lời giải:
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec i = (1;0;0)}\\
{{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2)}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_P} = [\vec i,\overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(1;2;1)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (0;2;2)\) có phương trình \((P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z – 3 = 0\) (thỏa do \(O \notin (P)\)).
Chọn đáp án C.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A(1;2;1)\), \(B(-1;4;-1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oyz).\)
A. \(x + 2y + z – 8 = 0.\)
B. \(y + z – 4 = 0.\)
C. \(y + z – 3 = 0.\)
D. \(x + y + z – 4 = 0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((Oyz):\) \(x = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;0;0)\) và \(\overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2).\)
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\
{{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {AB} }
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_P} = [\vec n,\overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(1;2;1)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (0;2;2)\), có phương trình \((P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z – 3 = 0.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(M(1;2;3)\), \(N(-1;1;5)\) và song song với trục \(Oz.\)
A. \(x + z – 4 = 0.\)
B. \(x – 2y + 3 = 0.\)
C. \(x – 2y + 5 = 0.\)
D. \(x + 2z – 7 = 0.\)
Lời giải:
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec k = (0;0;1)}\\
{{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2)}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_p} = [\vec k,\overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;2;3)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (1; – 2;0)\), có phương trình \((P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0\) \( \Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0\) (thỏa do \(O \notin (P)\)).
Chọn đáp án B.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(M(1;2;3)\), \(N(-1;1;5)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxy).\)
A. \(x + z – 4 = 0.\)
B. \(x + 2z – 7 = 0.\)
C. \(x – 2y + 5 = 0.\)
D. \(x – 2y + 3 = 0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((Oxy):\) \(z = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;0;1)\) và \(\overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2).\)
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\
{{{\vec n}_P} \bot \overrightarrow {MN} }
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_P} = [\vec n,\overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;2;3)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (1; – 2;0)\), có phương trình \((P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0\) \( \Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(1;2;1)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0\) và song song với trục \(Ox.\)
A. \(x + 2y + z – 8 = 0.\)
B. \(y + z – 3 = 0.\)
C. \(y + z – 1 = 0.\)
D. \(3x + y + z – 1 = 0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = ( – 2;2; – 2).\)
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec i = (1;0;0)}\\
{{{\vec n}_P} \bot \vec n}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({{{\vec n}_P} = [\vec i,\vec n] = (0;2;2)}.\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(1;2;1)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (0;2;2)\), có phương trình \((P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z – 3 = 0\) (thỏa do \(O \notin (P)\)).
Chọn đáp án B.
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(1;2;3)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oyz).\)
A. \(x+2y +z-8=0.\)
B. \(y +z-5=0.\)
C. \(y +z-1=0.\)
D. \(3x+y+z-1=0.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((Oyz):x = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;0;0).\)
Mặt phẳng \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_\alpha } = ( – 2;2; – 2).\)
Gọi \({\vec n_P}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P).\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\vec n}_P} \bot \vec n}\\
{{{\vec n}_P} \bot {{\vec n}_\alpha }}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) chọn \({\vec n_P} = \left[ {\vec n,{{\vec n}_\alpha }} \right] = (0;2;2).\)
Mặt phẳng \((P)\) qua \(A(1;2;3)\) và có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = (0;2;2)\), có phương trình \((P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 3) = 0\) \( \Leftrightarrow y + z – 5 = 0\) (thỏa do \(O \notin (P)\)).
Chọn đáp án B.
3. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) biết \(A(1;3;2)\), \(B(2;-1;1)\) và \(C(-1;1;0).\)
A. \(x + 2z – 3 = 0.\)
B. \(2x + y – 2z – 1 = 0.\)
C. \(3x + 2y – 5z + 4 = 0.\)
D. \(3x + 2y – 5z + 1 = 0.\)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(K(-1;1;0)\) và hai mặt phẳng \((\alpha ):x – 4y – z = 0\), \((\beta ): – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua \(K\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta ).\)
A. \(x – 2y + 3 = 0.\)
B. \(3x + 2y – 5z + 1 = 0.\)
C. \(3x + 2y – 5z – 2 = 0.\)
D. \(3x + y + 2z – 5 = 0.\)
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;1;2)\), \(B(2;1;1)\) và mặt phẳng \((\alpha ): – x – 2y + z + 9 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)
A. \((P):x + y + z – 4 = 0.\)
B. \((P):x + z – 3 = 0.\)
C. \((P):x + z – 2 = 0.\)
D. \((P):x + 2y + z – 5 = 0.\)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A(1;0;2)\), \(B(3;-1;1)\) và song song với trục \(Oy.\)
A. \(x+ 2z-3=0.\)
B. \(y +z-5=0.\)
C. \(y +z-1=0.\)
D. \(x + 2z – 5 = 0.\)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A(1;0;2)\), \(B(3;-1;1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxz).\)
A. \(x + 2z-3=0.\)
B. \(y +z-5=0.\)
C. \(y +z-1=0.\)
D. \(x + 2z-5=0.\)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(1;0;2)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):2x – y – z + 7 = 0\) và song song với trục \(Oy.\)
A. \(x + 2z – 3=0.\)
B. \(y + z-5=0.\)
C. \(y +z-1=0.\)
D. \(x+2z -5=0.\)
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(A(1;0;2)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):2x – y – z + 7 = 0\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxz).\)
A. \(x + 2z-3=0.\)
B. \(y +z-5=0.\)
C. \(y +z-1=0.\)
D. \(x + 2z-5=0.\)
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(-1;1;5)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxy).\)
A. \(x+z–4=0.\)
B. \(x + 2z – 7 = 0.\)
C. \(x-2y+5=0.\)
D. \(x – 2y +3=0.\)
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(A(-1;1;5)\), vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0\) và song song với trục \(Oz.\)
A. \(x+z-4=0.\)
B. \(x + 2z-7 =0.\)
C. \(x – 2y +5=0.\)
D. \(x – 2y +3=0.\)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M(1;0;1)\), \(N(2;1;-1)\) và mặt phẳng \((\alpha ): – x + y + z + 5 = 0.\) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) qua hai điểm \(M\), \(N\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ).\)
A. \(2x+z-3=0.\)
B. \(x+y+z-2=0.\)
C. \(3x + y + 2z -5=0.\)
D. \(3x +y + 2z-1=0.\)
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | B | B | D | D |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | D | D | D | D | C |
Bài toán xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng.
