Bài viết hướng dẫn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thông qua tổng hợp lý thuyết, phân dạng, các bước giải toán và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đăng tải trên https://giaibaitoan.com.
Lý thuyết cần nắm:
1. Diện tích của hình tròn và của hình elíp
a. Hình tròn bán kính \(R\) có diện tích \(S = \pi {R^2}.\)
b. Hình elíp \(\left( E \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có diện tích \(S = \pi ab.\)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) (\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) được cho bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) và đồ thị của hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) (\({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) được cho bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(x) – {f_2}(x)} \right|dx} .\)
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) (liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) và trục \(Ox\)
+ Bước 1: Gọi \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)
+ Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\). Từ đó phân được đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \(\left[ {a;b} \right]\) \( = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]\) mà trên mỗi đoạn \(f\left( x \right)\) chỉ có một dấu.
+ Bước 3: Khi đó: \(S = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_{{c_1}}^{{c_2}} {\left| {f(x)} \right|} dx\) \( + … + \int\limits_{{c_k}}^b {\left| {f(x)} \right|} dx.\)
Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = {\rm{ }}f\left( y \right)\) (liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) hai đường thẳng \(y = a\), \(y = b\) và trục \(Oy\)”, khi đó công thức tính diện tích là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(y)} \right|dy} .\)
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a. Đồ thị hàm số \(y = cosx + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = \frac{{2\pi }}{3}.\)
b. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 1\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = 2.\)
a. Ta có: \(S = \int\limits_0^{2\pi /3} {\left| {co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^{2\pi /3} {(co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 1)dx} \) \( = \left( {\sin x + x} \right)\left| {_0^{2\pi /3}} \right.\) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2\pi }}{3}.\)
b. Ta có: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} .\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = {x^3} – 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), ta có: \({x^3} – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}1.\)
Bảng xét dấu:
Khi đó: \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 1} \right|dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {1 – {x^3}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – 1} \right)dx} \) \( = \left( {x – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| {_0^1} \right. + \left( {\frac{{{x^4}}}{4} – x} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{7}{2}.\)
Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên:
+ Ở câu 1.a chúng ta chỉ việc sử dụng công thức cùng với nhận xét \(cosx + 1 \ge 0\) để phá dấu trị tuyệt đối. Từ đó, nhận được giá trị của tích phân.
+ Ở câu 1.b chúng ta cần xét dấu đa thức \({x^3} – 1\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), để từ đó tách tích phân \(S\) thành các tích phân nhỏ mà trên đó biểu thức \({x^3} – 1\) không âm hoặc không dương.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a. Đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 3x – 2\) và trục hoành.
b. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 2{x^2} – x + 2\) và trục hoành.
a. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 3x – 2\) và trục hoành là:
\( – {x^2} + 3x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_1^2 {\left| { – {x^2} + 3x – 2} \right|dx} \) \( = \int\limits_1^2 {\left( { – {x^2} + 3x – 2} \right)dx} \) \( = \left. {\left( { – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{1}{6}.\)
b. Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 2x\) và trục hoành là:
\({x^3} – 2{x^2} – x + 2{\rm{ }} = 0\) \( \Leftrightarrow (x – 1)({x^2} – x – 2) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm 1\) hoặc \(x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} \) \( + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|dx} \)
\( = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)dx} \) \( + \int\limits_1^2 {\left( { – {x^3} + 2{x^2} + x – 2} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} – \frac{2}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1\) \( + \left. {\left( { – \frac{1}{4}{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_1^2\) \( = 3.\)
Nhận xét: Như vậy, để tính các diện tích hình phẳng trên chúng ta đều cần tìm được hai cận \(a\), \(b\) của tích phân và:
+ Ở câu 2.a vì phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm nên hàm số dưới dấu tích phân chỉ có một dấu.
+ Ở câu 2.b vì phương trình hoành độ có ba nghiệm nên tích phân \(S\) cần được tách thành hai tích phân nhỏ.
[ads]
Dạng toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) (liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\)
+ Bước 1: Gọi \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} .\)
+ Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f\left( x \right) – g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\). Từ đó phân được đoạn \(\left[ {a,b} \right]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \(\left[ {a;b} \right]\) \( = \left[ {a;{c_1}} \right] \cup \left[ {{c_1};{c_2}} \right] \cup … \cup \left[ {{c_k};b} \right]\) mà trên mỗi đoạn \(f\left( x \right) – g\left( x \right)\) chỉ có một dấu.
+ Bước 3: Khi đó: \(S = I = \int\limits_a^{{c_1}} {\left| {f(x) – g(x)} \right|} dx + \) \(… + \int\limits_{{c_k}}^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|} dx .\)
Chú ý: Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(x = {f_1}\left( y \right)\) và \(x = {f_2}\left( y \right)\) (liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) và hai đường thẳng \(y = a\), \(y = b\) và trục \(Oy\)”, khi đó công thức tính diện tích là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(y) – {f_2}(y)} \right|dy} .\)
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a. Đồ thị các hàm số \(y = 4-{x^2}\), \(y = -x + 2.\)
b. Đồ thị các hàm số \(y = lnx\), \(y = -lnx\) và \(x = e.\)
a. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
\(4–{x^2} = –x + 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = – 1\) hoặc \(x = 2.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – x – 2} \right|dx} \) \( = – \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – x – 2} \right)dx} \) \( = – \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – \frac{1}{2}{x^2} – 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2\) \( = \frac{{27}}{6}.\)
b. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
\(lnx = -lnx\) \( \Leftrightarrow 2lnx = 0\) \( \Leftrightarrow lnx = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
Khi đó: \(S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x + \ln x} \right|dx} \) \( = 2\int\limits_1^e {\ln x.dx} .\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = dx
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = x
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = 2\left( {\left. {x.\ln x} \right|_1^e – \int\limits_1^e {dx} } \right)\) \( = 2\left( {e – \left. x \right|_1^e} \right)\) \( = 2.\)
Ví dụ 4: Cho hàm số: \(\left( C \right)\): \(y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\). Tìm \(b\) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và các đường thẳng \(y = 1\), \(x = 0\), \(x = b\) bằng \(\frac{\pi }{4}.\)
Gọi \(S\) là diện tích cần xác định, ta có:
\(S = \int\limits_0^b | \frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 1}} – 1|dx\) \( = \frac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow \int\limits_{\rm{0}}^b | \frac{{{\rm{x}}{{\rm{ }}^{\rm{2}}} – {x^2} – 1}}{{{\rm{x}}{{\rm{ }}^{\rm{2}}} + 1}}|dx\) \( = \frac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow \left| {\int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 1}}} } \right|\) \( = \frac{\pi }{4}\) \((1).\)
Đặt \(x = tant\), \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}\) \( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\) \( = \left( {1 + ta{n^2}t} \right)dt .\)
Đổi cận: Với \(x = 0\) thì \(t = 0\), với \(x = b\) thì \(t = \alpha \) (với \(tan\alpha = b\) và \( – \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\)).
Khi đó: \((1) \Leftrightarrow \left| {\int\limits_0^\alpha {dt} } \right|\) \( = \frac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow \left| t \right|\left| \begin{array}{l}
\alpha \\
0
\end{array} \right.\) \( = \frac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow \left| \alpha \right| = \frac{\pi }{4}\) \( \Leftrightarrow b = \pm 1.\)
Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
