Giải Bài Toán Tính Xác Suất Của Một Biến Cố Theo Định Nghĩa Cổ Điển

Bài viết về Định nghĩa Cổ điển của Xác suất

Bài viết này trình bày phương pháp tính xác suất của một biến cố dựa trên định nghĩa cổ điển, một nền tảng quan trọng trong lý thuyết xác suất. Kiến thức và các ví dụ minh họa được tham khảo từ các tài liệu chuyên sâu về tổ hợp và xác suất trên giaibaitoan.com, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy của thông tin.

1. Định nghĩa Cổ điển của Xác suất

Trong bối cảnh một phép thử \(T\) có không gian mẫu \(Ω\) là một tập hữu hạn và tất cả các kết quả của \(T\) đều có khả năng xảy ra như nhau (đồng khả năng), xác suất của một biến cố \(A\), ký hiệu là \(P(A)\), được định nghĩa như sau:

\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{|\Omega |}}\)

Trong đó:

\(Ω_A\) là tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).
\(|\Omega|\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\).
\(|\Omega_A|\) là số phần tử của tập hợp \(Ω_A\).

Định nghĩa này nhấn mạnh rằng việc tính xác suất của một biến cố trong trường hợp này được quy về việc đếm số lượng kết quả có thể xảy ra của phép thử và số lượng kết quả thuận lợi cho biến cố đó. Đây là một phương pháp cơ bản và trực quan để tiếp cận xác suất.

Chú ý:

\(0 ≤ P(A) ≤ 1\): Xác suất của một biến cố luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1, bao gồm cả 0 và 1.
\(P(Ω) = 1\): Xác suất của không gian mẫu (tất cả các kết quả có thể xảy ra) luôn bằng 1.
\(P(Ø) = 0\): Xác suất của biến cố không thể xảy ra (tập rỗng) luôn bằng 0.

2. Phương pháp Tính Xác suất theo Định nghĩa Cổ điển

Để tính xác suất của một biến cố \(A\) theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:

Xác định không gian mẫu \(Ω\) và tính số phần tử của nó, \(|Ω|\).
Xác định biến cố \(A\) và tính số phần tử của tập hợp các kết quả thuận lợi cho \(A\), \(|Ω_A|\).
Tính xác suất của \(A\) theo công thức: \(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{|\Omega |}}\).

Phương pháp này cung cấp một quy trình rõ ràng và dễ thực hiện để tính xác suất trong các trường hợp đơn giản, khi không gian mẫu là hữu hạn và các kết quả là đồng khả năng.

3. Ví dụ Minh họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cách áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:

Ví dụ 1:

a) Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất của biến cố tổng số chấm không nhỏ hơn 16.

Không gian mẫu có \(6^3 = 216\) phần tử.

Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng số chấm không nhỏ hơn 16”.

Số trường hợp thuận lợi cho \(A\) là:

Tổng số chấm bằng 18: 1 trường hợp (6, 6, 6).
Tổng số chấm bằng 17: 3 trường hợp (5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5).
Tổng số chấm bằng 16: 6 trường hợp (6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (6, 5, 5), (5, 5, 6), (5, 6, 5).

Tổng cộng có 10 trường hợp thuận lợi cho \(A\).

Suy ra: \(P(A) = \frac{{10}}{{216}} = \frac{5}{{108}}\).

b) Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái B, G, N, O, O. Tìm xác suất để được chữ BOONG.

Số trường hợp có thể xảy ra là \(5! = 120\) (nếu coi hai chữ O là khác nhau). Tuy nhiên, vì có hai chữ O giống nhau, số trường hợp thực tế là \(\frac{5!}{2!} = 60\).

Gọi \(B\) là biến cố: “Xếp được chữ BOONG”.

Số trường hợp có thể xảy ra \(B\) là 2 (BOONG).

Suy ra: \(P(B) = \frac{2}{60} = \frac{1}{{30}}\).

Ví dụ 2: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm.

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Không gian mẫu có sáu kết quả đồng khả năng: \(Ω = \{1, 2, …, 6\}\), \(|Ω| = 6\).

Phương trình bậc hai \(x^2 + bx + 2 = 0\) có biệt thức \(Δ = {b^2} – 8\).

a) Phương trình có nghiệm khi \(Δ ≥ 0\), tức là \(b^2 ≥ 8\). Vậy \(b ∈ \{3, 4, 5, 6\}\). Do đó, \(P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

b) Phương trình vô nghiệm khi \(Δ < 0\), tức là \(b^2 < 8\). Vậy \(b ∈ \{1, 2\}\). Do đó, \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

c) Phương trình có nghiệm nguyên khi \(Δ\) là số chính phương. Với \(b ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), chỉ có \(b = 3\) thỏa mãn \(Δ = 1\) là số chính phương. Do đó, \(P(C) = \frac{1}{6}\).

(Các ví dụ 3-15 được lược bỏ để đảm bảo độ dài phù hợp)

Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan về định nghĩa cổ điển của xác suất, phương pháp tính toán và các ví dụ minh họa. Việc nắm vững kiến thức này là bước đầu quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau.