Ngoài những ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích mà chúng ta đã được tìm hiểu trong chương trình Giải tích 12, thì tích phân còn có nhiều ứng dụng quan trọng khác trong giải toán; bài viết dưới đây trình bày ứng dụng của tích phân để tính tổng biểu thức tổ hợp.
1. PHƯƠNG PHÁP VÀ DẤU HIỆU
Phương pháp chung:
+ Xét khai triển \(f(x) = {(a \pm bx)^n}.\)
+ Tính tích phân hai vế của khai triển với các cận được chọn thích hợp.
+ Chọn \(a\), \(b\), \(x\) thích hợp.
Dấu hiệu nhận biết:
+ Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}\) hoặc \(\frac{{C_n^k}}{{(n – k + 1)}}\) thì tích phân thường có dạng: \(\int_0^1 f (x)dx.\)
+ Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{k + 1}}\) hoặc \(\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{(n – k + 1)}}\) thì tích phân thường có dạng: \(\int_\beta ^\alpha f (x)dx.\)
Lưu ý: Ngoài việc tính tích phân của khai triển \(f(x) = {(a \pm bx)^n}\) thì một số bài toán còn nhân thêm \(2\) vế của khai triển với một đại lượng \(g(x)\) nào đó. Trong trường hợp này ta nên xem xét sự chênh lệch giữa \(k\) ở \(C_n^k\) và mẫu \(h\) ở \(\frac{{C_n^k}}{h}\) mà nhân thêm hoặc chia bớt đi thích hợp.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3\) \( + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}\) (với \(n \in Z_ + ^*\)).
Lời giải:
Ta có: \({(1 + x)^{2n}}\) \( = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x\) \( + C_{2n}^2{x^2} + C_{2n}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\) \((1).\)
\({(1 – x)^{2n}}\) \( = C_{2n}^0 – C_{2n}^1x\) \( + C_{2n}^2{x^2} – C_{2n}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\) \((2).\)
Xét hàm số: \(f(x) = \frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}\) \((3).\)
Từ \((1)\), \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(f(x) = C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3}\) \( + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}\) \((4).\)
Từ \((3)\) ta có: \(\int_0^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n + 1}} + {{(1 – x)}^{2n + 1}}}}{{2(2n + 1)}}} \right)} \right|_0^1\) \( = \frac{{{2^{2n + 1}} – 2}}{{2(2n + 1)}}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}\) \((5).\)
Từ \((4)\) ta có: \(\int_0^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3} + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {C_{2n}^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_{2n}^3\frac{{{x^4}}}{4} + C_{2n}^5\frac{{{x^6}}}{6} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}\frac{{{x^{2n}}}}{{2n}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + \ldots + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \((6).\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra \(\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3\) \( + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}.\)
Bài 2:
1) Tính tổng \(S = C_n^1 – 2C_n^2\) \( + 3C_n^3 – 4C_n^4\) \( + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n\) \((n /> 2).\)
2) Tính tổng \(T = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1\) \( + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\) Biết rằng \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: \(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.\)
Lời giải:
1) Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Đạo hàm \(2\) vế ta được: \(n{(1 + x)^{n – 1}}\) \( = C_n^1 + 2C_n^2x + 3C_n^3{x^2}\) \( + \ldots + nC_n^n{x^{n – 1}}.\)
Chọn \(x= -1\) ta được: \(0 = C_n^1 – 2C_n^2 + 3C_n^3 – 4C_n^4\) \( + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n.\)
Vậy \(S = 0.\)
2) Ta có: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra \(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + C_n^3{x^3} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + \frac{1}{2}C_n^1{x^2} + \frac{1}{3}C_n^2{x^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{x^{n + 1}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Suy ra: \(T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Mặt khác ta có: \(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2}\\
{n \in N}
\end{array}} \right..\)
\(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79\) \( \Leftrightarrow 1 + \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 79.\)
\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n(n – 1)}}{2} = 79\) \( \Leftrightarrow {n^2} + n – 156 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 12}\\
{n = – 13\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Vậy \(T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = \frac{{{2^{13}} – 1}}{{13}} = \frac{{8191}}{{13}}.\)
Bài 3: Cho \(n\) là số nguyên dương. Tính tổng \(C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1\) \( + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_1^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_1^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}}{{(1 + x)}^{n + 1}}} \right|_1^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_1^2.\)
\( \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.\)
Bài 4: Với mỗi số tự nhiên \(n\), hãy tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2\) \( + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left[ {C_n^0x + \frac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \frac{{C_n^2{x^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0.2 + \frac{{C_n^1{{.2}^2}}}{2}\) \( + \frac{{C_n^2{{.2}^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{{.2}^{n + 1}}}}{{n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = 2.\left( {C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2 + \frac{1}{3}C_n^2{{.2}^2} + \frac{1}{4}C_n^3{{.2}^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{{.2}^n}} \right).\)
\( \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2\) \( + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.\)
Vậy \(S = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.\)
Bài 5:
1) Tính tích phân: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx.\)
2) Tính tổng \(S = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3\) \( + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6.\)
Lời giải:
1) Ta có: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx\) \( = \left. {\frac{{{{(x + 2)}^7}}}{7}} \right|_0^1\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}\) \( = \frac{{2059}}{7}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx\) \( = \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx.\)
\( = \int_0^1 {\left( {C_6^0{2^6} + C_6^1{2^5}x + C_6^2{2^4}{x^2} + C_6^3{2^3}{x^3} + C_6^4{2^2}{x^4} + C_6^52{x^5} + C_6^6{x^6}} \right)dx.} \)
\( = \left[ {\frac{{{2^6}}}{1}C_6^0x + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1{x^2} + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2{x^3} + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3{x^4} + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4{x^5} + \frac{2}{6}C_6^5{x^6} + \frac{1}{7}C_6^6{x^7}} \right]_0^1.\)
\( = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3\) \( + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(S = \frac{{2059}}{7}.\)
Bài 6: Tính tích phân \(I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx\) \(\left( {n \in {N^*}} \right).\) Từ đó chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}.\)
Lời giải:
Đặt \(t = 1 – {x^2}\) \( \Rightarrow dt = – 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = – \frac{{dt}}{2}.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\
{x = 1 \Rightarrow t = 0}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(I = \int_1^0 {\left( { – \frac{1}{2}{t^n}} \right)dt} \) \( = \frac{1}{2}\int_0^1 {{t^n}} dt\) \( = \left. {\frac{1}{{2(n + 1)}}{t^{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}\) \((1).\)
Mặt khác ta có:
\(I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx\) \( = \int_0^1 x \left( {C_n^0 – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^4} – C_n^3{x^6} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^{2n}}} \right)dx.\)
\( = \left. {\left( {C_n^0.\frac{{{x^2}}}{2} – C_n^1.\frac{{{x^4}}}{4} + C_n^2.\frac{{{x^6}}}{6} – C_n^3.\frac{{{x^8}}}{8} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n.\frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}.\)
Bài 7: Tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế ta được:
\(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1.\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2.\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n.\frac{{{x^n}}}{2}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Vậy \(S = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 8: Chứng minh đẳng thức sau: \(\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(2 + x)^6}\) \( = {2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1\) \( + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6.\)
\( \Rightarrow \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {{2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1 + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{7}{{(2 + x)}^7}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {{2^6}C_6^0x + {2^5}\frac{{{x^2}}}{2}C_6^1 + {2^4}\frac{{{x^3}}}{3}C_6^2 + \ldots + \frac{{{x^7}}}{7}C_6^6} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}\) \( = \frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6.\)
Vậy \(\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.\)
Bài 9:
1) Tính \(\int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx.\)
2) Chứng minh: \(\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}.\)
Lời giải:
1) Ta có: \(I = \int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx\) \( = \frac{1}{3}\int_0^1 {{{\left( {1 + {x^3}} \right)}^n}} d\left( {1 + {x^3}} \right)\) \( = \left. {\frac{{{{\left( {1 + {x^3}} \right)}^{n + 1}}}}{{3(n + 1)}}} \right|_0^1\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \({x^2}{\left( {1 + {x^3}} \right)^n}\) \( = {x^2}\left( {C_n^0 + C_n^1{x^3} + C_n^2{x^6} + \ldots + C_n^n{x^{3n}}} \right)\) \( = C_n^0{x^2} + C_n^1{x^5} + C_n^2{x^8} + \ldots + C_n^n{x^{3n + 2}}.\)
Suy ra: \(I = \int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0{x^2} + C_n^1{x^5} + C_n^2{x^8} + \ldots + C_n^n{x^{3n + 2}}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {C_n^0\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^1\frac{{{x^6}}}{6} + C_n^2\frac{{{x^9}}}{9} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{3n + 3}}}}{{3n + 3}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}.\)
Bài 10: Cho \(n\) là số nguyên dương. Chứng minh: \(1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra \(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 11: Chứng minh rằng: \(2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = 2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n.\)
Vậy \(2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 12:
1) Tính tích phân: \(\int_0^1 x {(1 – x)^n}dx.\)
2) Chứng minh: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}.\)
Lời giải:
1) Đặt \(t = 1 – x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{dt = – dx}
\end{array}} \right..\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\
{x = 1 \Rightarrow t = 0}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(I = \int_0^1 x {(1 – x)^n}dx\) \( = \int_1^0 {(1 – t)} {t^n}( – dt)\) \( = \int_0^1 {\left( {{t^n} – {t^{n + 1}}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}} – \frac{{{t^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{{n + 1}} – \frac{1}{{n + 2}}\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \({(1 – x)^n}\) \( = C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}.\)
\( \Leftrightarrow x{(1 – x)^n}\) \( = C_n^0x – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^{n + 1}}.\)
\( \Rightarrow \int_0^1 x {(1 – x)^n}dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0x – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right)dx.} \)
\( = \left. {\left( {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} – C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}.\)
Bài 13: Chứng minh rằng: \(2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {1 + {{( – 1)}^n}} \right].\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(1 – x)^n}\) \( = C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 – x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 – x)}^{n + 1}}}}{{ – (n + 1)}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x – C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ – {{( – 1)}^{n + 1}} + {1^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) \( = 2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n.\)
\( \Leftrightarrow 2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {1 + {{( – 1)}^n}} \right].\)
Bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: tính tổng biểu thức tổ hợp có sử dụng tích phân.
