Giải Bài Toán Phép Biến Đổi Đồ Thị Hàm Số - Phương Pháp và Lời Giải Chi Tiết

Hướng dẫn giải bài toán biến đổi đồ thị hàm số – Giải tích 12

Bài viết này cung cấp phương pháp và ví dụ minh họa để giải các bài toán liên quan đến phép biến đổi đồ thị hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Việc nắm vững các phép biến đổi này không chỉ giúp vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác mà còn hỗ trợ trong việc phân tích tính chất và ứng dụng của hàm số.

I. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản

Bài toán 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\). Hãy vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|\).

Phương pháp:

Bước 1: Xác định hai phần của đồ thị hàm số \(y = f(x)\):

\(\left( {{C_1}} \right)\) là phần đồ thị nằm phía trên hoặc trên trục \(Ox\) (bao gồm cả các điểm thuộc trục \(Ox\)).
\(\left( {{C_2}} \right)\) là phần đồ thị nằm phía dưới trục \(Ox\).

Bước 2: Giữ nguyên \(\left( {{C_1}} \right)\), lấy đối xứng \(\left( {{C_2}} \right)\) qua trục \(Ox\) để được \(\left( {{C_3}} \right)\).
Bước 3: Bỏ đi \(\left( {{C_2}} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|\) là \(\left( {C’} \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_3}} \right)\).

Ví dụ: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right| = \left| {{x^3} + 3{x^2} – 3} \right|\).

phép biến đổi đồ thị hàm số

Nhận xét: Vì \(\left| {f(x)} \right| \ge 0\) với mọi \(x\), đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|\) luôn nằm phía trên hoặc trên trục hoành.

Bài toán 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\). Hãy vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\).

Phương pháp:

Bước 1: Xác định hai phần của đồ thị hàm số \(y = f(x)\):

\(\left( {{C_1}} \right)\) là phần đồ thị nằm bên phải trục \(Oy\) (bao gồm cả trục \(Oy\)).
\(\left( {{C_2}} \right)\) là phần đồ thị nằm bên trái trục \(Oy\).

Bước 2: Bỏ đi \(\left( {{C_2}} \right)\), giữ nguyên \(\left( {{C_1}} \right)\) và lấy đối xứng \(\left( {{C_1}} \right)\) qua trục \(Oy\) để được \(\left( {{C_3}} \right)\).
Bước 3: Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là \(\left( {C’} \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_3}} \right)\).

Ví dụ: Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right) = {\left| x \right|^3} + 3{\left| x \right|^2} – 3.\)

phép biến đổi đồ thị hàm số

Bài toán 3: Cho hàm số \(y = f(x).g(x)\) có đồ thị \((C)\). Hãy vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|.g(x)\).

Phương pháp:

Bước 1: Xác định hai phần của đồ thị hàm số \(y = f(x).g(x)\):

\(\left( {{C_1}} \right)\) là phần đồ thị với \(f(x) \ge 0\).
\(\left( {{C_2}} \right)\) là phần đồ thị với \(f(x) < 0\).

Bước 2: Giữ nguyên \(\left( {{C_1}} \right)\), lấy đối xứng \(\left( {{C_2}} \right)\) qua trục \(Ox\) để được \(\left( {{C_3}} \right)\), bỏ đi \(\left( {{C_2}} \right)\).
Bước 3: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|.g(x)\) là \(\left( {C’} \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_3}} \right)\).

Ví dụ: Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|.g(x) = \left| {x – 2} \right|.{(x + 1)^2}.\)

phép biến đổi đồ thị hàm số

Nhận xét: Tương tự, để vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left| {f(x)} \right|}}{{g(x)}}\) (hoặc \(y = \frac{{f(x)}}{{\left| {g(x)} \right|}}\)) từ đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) ta thực hiện tương tự như bài toán 3.

Bài toán 4: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\) và số thực \(a\) dương. Hãy vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x + a)\), \(y = f(x – a)\), \(y = f(x) + a\), \(y = f(x) – a\).

Phương pháp:

Đồ thị hàm số \(y = f(x + a)\) là đồ thị \((C)\) tịnh tiến sang bên trái \(a\) đơn vị.
Đồ thị hàm số \(y = f(x – a)\) là đồ thị \((C)\) tịnh tiến sang bên phải \(a\) đơn vị.
Đồ thị hàm số \(y = f(x) + a\) là đồ thị \((C)\) tịnh tiến lên trên \(a\) đơn vị.
Đồ thị hàm số \(y = f(x) – a\) là đồ thị \((C)\) tịnh tiến xuống dưới \(a\) đơn vị.

Ví dụ: Đồ thị \(y = f(x) = {x^3} – 3x + 1.\)

phép biến đổi đồ thị hàm số

Đồ thị các hàm số \(y = f(x – 1)\), \(y = f(x + 1)\), \(y = f(x) + 1\), \(y = f(x) – 1\) được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

phép biến đổi đồ thị hàm số

II. Bài toán liên quan đến phép biến đổi đồ thị hàm số

Bài toán: Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\) như hình vẽ.

phép biến đổi đồ thị hàm số

a) Hàm số \(y = f(x + 3)\) nghịch biến trong khoảng nào?
b) Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) đồng biến trong khoảng nào?
c) Hàm số \(y = \left| {f(x)} \right| + 3\) đồng biến trong khoảng nào?

a) Đồ thị hàm số \(y = f(x + 3)\) được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) bằng cách tịnh tiến sang trái \(3\) đơn vị. Dựa vào đồ thị, hàm số \(y = f(x + 3)\) nghịch biến trong khoảng \((-4;-2).\)
b) Đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) bằng cách giữ nguyên phần bên phải trục \(Oy\) và lấy đối xứng phần bên phải trục \(Oy\) qua trục \(Oy\). Dựa vào đồ thị, hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) đồng biến trong các khoảng \(( – 1;0)\) và \((1; + \infty ).\)
c) Đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right| + 3\) được suy ra từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục \(Ox\), lấy đối xứng phần phía dưới trục \(Ox\) và tịnh tiến lên \(3\) đơn vị. Dựa vào đồ thị, hàm số \(y = \left| {f(x)} \right| + 3\) đồng biến trong các khoảng \(( – 2; – 1)\) và \((1; + \infty ).\)

III. Bài tập trắc nghiệm

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. Bài tập tự luyện

(Các bài tập tự luyện và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)