Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0:\)
• Nếu \(a\ne 0\), ta có: \(ax + b = 0\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}\), do đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-\frac{b}{a}.\)
• Nếu \(a=0\): phương trình \(ax + b = 0\) trở thành \(0x+b=0\), khi đó:
+ Trường hợp 1: Với \(b=0\) phương trình \(ax + b = 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Trường hợp 2: Với \(b\ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) vô nghiệm.
Chú ý:
+ Phương trình \(ax+b=0\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
a=b=0 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Phương trình \(ax+b=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Phương trình \(ax+b=0\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0.\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với \(m\) là tham số:
a) \(\left( {m – 1} \right)x + 2 – m = 0.\)
b) \(m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3.\)
c) \({(m + 1)^2}x\) \( = (3m + 7)x + 2 + m.\)
a) Phương trình tương đương với \(\left( {m – 1} \right)x = m – 2.\)
+ Với \(m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1:\) phương trình trở thành \(0x = – 1\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m – 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow m \ne 1:\) phương trình tương đương với \(x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.\)
Kết luận:
+ Nếu \(m = 1\), phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(m \ne 1\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.\)
b) Ta có: \(m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3\) \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 9} \right)x = m + 3.\)
Với \({m^2} – 9 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \pm 3:\)
+ Khi \(m=3:\) Phương trình trở thành \(0x=6\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(m=-3\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
Với \({{m}^{2}}-9\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne \pm 3\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}\).
Kết luận:
+ Với \(m=3\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=-3\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(m\ne \pm 3\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{m-3}.\)
c) Phương trình tương đương với \(\left[ {{(m+1)}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m\) \(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=2+m.\)
Với \({{m}^{2}}-m-6=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=3 \\
m=-2 \\
\end{matrix} \right.\):
+ Khi \(m=3:\) Phương trình trở thành \(0x=5\), suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(m=-2:\) Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
Với \({{m}^{2}}-m-6\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ne 3 \\
m\ne -2 \\
\end{matrix} \right.\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}\).
Kết luận:
+ Với \(m=3\) : Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=-2\) : Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(m\ne 3\) và \(m\ne -2\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{1}{m-3}.\)
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với \(a,b\) là tham số:
a) \({a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right).\)
b) \(b\left( {ax – b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right).\)
a) Ta có: \({a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)x = {a^3} – {b^3}.\)
Với \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow a=\pm b:\)
+ Khi \(a=b\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Khi \(a=-b\) và \(b\ne 0\): Phương trình trở thành \(0x=-2{{b}^{3}}\), suy ra phương trình vô nghiệm.
(Trường hợp \(a=-b\), \(b=0\) \(\Rightarrow a=b=0\) thì rơi vào trường hợp \(a=b\)).
Với \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0\) \(\Leftrightarrow a\ne \pm b\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\) \(\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.\)
Kết luận:
+ Với \(a=b\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in R.\)
+ Với \(a=-b\) và \(b\ne 0\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(a\ne \pm b\): Phương trình có nghiệm là \(x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.\)
b) Ta có \(b\left( ax-b+2 \right)=2\left( ax+1 \right)\) \(\Leftrightarrow a\left( b-2 \right)x={{b}^{2}}-2b+2.\)
Với \(a\left( b-2 \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.\)
+ Khi \(a=0\): Phương trình trở thành \(0x={{b}^{2}}-2b+2\), do \({{b}^{2}}-2b+2={{\left( b-1 \right)}^{2}}+1/>0\) nên phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(b=2\): Phương trình trở thành \(0x=2\), suy ra phương trình vô nghiệm.
Với \(a\left( b-2 \right)\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
b\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\): Phương trình tương đương với \(x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}\) .
Kết luận:
+ Với \(a=0\) hoặc \(b=2\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Với \(a\ne 0\) và \(b\ne 2\) thì phương trình có nghiệm là \(x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}.\)
Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.\)
b) \(m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1).\)
a) Ta có \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1\) \(\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0\) hay \({{m}^{2}}-m-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy với \(m\ne -1\) và \(m\ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Ta có \(m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1)\) \(\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-m-1 \right)x=3{{m}^{2}}-2m.\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow a\ne 0\) hay \(4{{m}^{2}}-m-1\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.\)
Vậy với \(m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Tìm \(m\) để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau \(y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m\) và \(y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2.\)
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m\) \(=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=2-m\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 4 = 0}\\
{2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = \pm 2}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = – 2.\)
Vậy với \(m=-2\) là giá trị cần tìm.
[ads]
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài:
Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với \(m\) là tham số:
a) \(\left( 2m-4 \right)x+2-m=0.\)
b) \((m+1)x=(3{{m}^{2}}-1)x+m-1.\)
Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) \(\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.\)
b) \(\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}-1}.\)
Bài toán 3. Tìm \(m\) để phương trình sau vô nghiệm:
a) \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.\)
b) \({{m}^{2}}\left( x-m \right)=x-3m+2.\)
Bài toán 4. Tìm điều kiện của \(a,b\) để phương trình sau có nghiệm.
a) \(a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1.\)
b) \(\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a(a,b\ne 0).\)
b. Hướng dẫn và đáp số:
Bài toán 1.
a) Phương trình tương đương với \(\left( 2m-4 \right)x=m-2.\)
+ Với \(2m-4=0\) \(\Leftrightarrow m=2\): Phương trình trở thành \(0x=0\), suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
+ Với \(2m-4\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne 2\): Phương trình tương đương với \(x=-1.\)
Kết luận:
+ Với \(m=2\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Với \(m\ne 2\): Phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-1.\)
b) Phương trình tương đương với \(\left( 3{{m}^{2}}-m-2 \right)x=1-m.\)
Với \(3{{m}^{2}}-m-2=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\):
+ Khi \(m=1:\) Phương trình trở thành \(0x=0\), phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
+ Khi \(m=-\frac{2}{3}\): Phương trình trở thành \(0x=\frac{5}{3}\), suy ra phương trình vô nghiệm.
Với \(3{{m}^{2}}-m-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
m\ne -\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\), phương trình \(\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.\)
Kết luận:
+ Với \(m=-\frac{2}{3}\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=1\): Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Với \(m≠-\frac{2}{3}\) và \(m≠1\): Phương trình có nghiệm \(x=\frac{-1}{3m+2}.\)
Bài toán 2.
a) Điều kiện xác định: \(a ≠ 0\), \(b ≠ 0.\)
Ta có: Phương trình \( \Leftrightarrow b\left( {x + a – b} \right) – a\left( {x + b – a} \right)\) \( = {b^2} – {a^2}\) \( \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}\) \( = {b^2} – {a^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {b – a} \right)x\) \( = 2\left( {b – a} \right)\left( {b + a} \right).\)
+ Nếu \(b – a ≠ 0\) \(\Rightarrow b\ne a\) thì \(x=\frac{2\left( b-a \right)\left( b+a \right)}{b-a}=\) \(2\left( b+a \right).\)
+ Nếu \(b – a = 0\) \(\Rightarrow b=a\) thì phương trình có vô số nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(b ≠ a\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2(b + a).\)
+ Với \(b = a\), phương trình có vô số nghiệm.
b) Điều kiện xác định: \(x\ne \pm 1.\)
\( \Leftrightarrow \left( {ax – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)\) \( = a\left( {{x^2} + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2\) \( = a{x^2} + a\) \( \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3.\)
+ Nếu \(a+1\ne 0\) \(\Rightarrow a\ne -1\) thì \(x=\frac{a+3}{a+1}.\)
+ Nếu \(a+1=0\) \(\Rightarrow a=-1\) thì phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(a\ne -1\) và \(a\ne -2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a+3}{a+1}.\)
+ Với \(a=-1\) hoặc \(a=-2\) thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 3.
a) Ta có \(({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1\) \(\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.\)
Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-m-2=0 \\
{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow m=2.\)
Vậy với \(m=2\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Ta có: Phương trình \(\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)x={{m}^{3}}-3m+2.\)
Phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) hay \(\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-1=0 \\
{{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow m=-1.\)
Vậy với \(m=-1\) thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 4.
a) Ta có \(a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1\) \(\Leftrightarrow \left( ab-a-b+1 \right)x={{a}^{2}}-2a+1\) \(\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)x={{\left( a-1 \right)}^{2}}.\)
Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\
{{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a\ne 1 \\
b\ne 1 \\
\end{matrix} \right. \\
a=1 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow a\ne 1.\)
Vậy \(a\ne 1\) là điều kiện cần tìm.
b) Phương trình tương đương với: \(b\left( 2x-a \right)-a{{b}^{2}}=a\left( 2x-b \right)-{{a}^{2}}b\) \(\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)x=ab\left( a-b \right).\)
Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a-b\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
a-b=0 \\
ab\left( a-b \right)=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne b \\
a=b \\
\end{matrix} \right.\) đúng với mọi \(a,b.\)
Vậy với mọi \(a,b\) khác \(0\) thì phương trình có nghiệm.
Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn.
