Giải Bài Toán Tính Đơn Điệu Của Hàm Ẩn Cho Bởi Đồ Thị Hàm F\"(x)

Tài liệu chuyên sâu về Dạng Toán Tính Đơn Điệu của Hàm Ẩn thông qua Đồ thị Đạo Hàm

Tài liệu học tập này, với độ dài 46 trang, tập trung vào phương pháp giải một dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán – cụ thể là bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn khi biết đồ thị đạo hàm của hàm số gốc. Dạng toán này được xây dựng và phát triển dựa trên câu 50 của đề tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020, cho thấy tính thời sự và mức độ xuất hiện của dạng bài trong các kỳ thi.

I. Tóm tắt Kiến thức Nền tảng

Phần này cung cấp một bản tóm tắt ngắn gọn nhưng đầy đủ các kiến thức toán học cần thiết để tiếp cận và giải quyết dạng toán này. Nội dung trọng tâm bao gồm:

Mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm.
Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp – một công cụ không thể thiếu khi làm việc với các hàm ẩn.

II. Bài Toán Mẫu và Phân tích Chi Tiết

1. Đề bài: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x² – x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

2. Nhận xét và Đánh giá:

Đây là một bài toán điển hình thuộc nhóm vận dụng cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản về đạo hàm và tính đơn điệu mà còn phải biết cách kết hợp chúng một cách linh hoạt để giải quyết vấn đề. Bài toán này đặc biệt quan trọng vì nó rèn luyện kỹ năng đọc hiểu đồ thị, phân tích hàm số và áp dụng các quy tắc đạo hàm một cách chính xác.

3. Phân tích Hướng Giải và Các Phương Pháp Tiếp Cận

Bài tài liệu trình bày ba phương pháp giải khác nhau, đáp ứng nhu cầu và trình độ của nhiều đối tượng học sinh:

a. Phân loại Dạng Toán: Dạng toán này thuộc loại tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn có dạng g(x) = f[u(x)] + v(x), trong đó đồ thị của hàm số y = f'(x) đã được cho trước.

b. Phương pháp 1: Lập Bảng Xét Dấu Đạo Hàm

Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
Sử dụng đồ thị của f'(x) để xác định dấu của f'[u(x)] trên các khoảng khác nhau.
Lập bảng xét dấu của g'(x) dựa trên dấu của u'(x) và f'[u(x)].
Dựa vào bảng dấu để kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

c. Phương pháp 2: Giải Bất Phương Trình Đạo Hàm

Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
Sử dụng điều kiện đồng biến (g'(x) ≥ 0) hoặc nghịch biến (g'(x) ≤ 0) của hàm số g(x).
Giải bất phương trình dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) để tìm khoảng nghiệm.
Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

d. Phương pháp 3: Phương Pháp Loại Trừ (Dành cho Trắc Nghiệm)

Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
Sử dụng điều kiện đồng biến (g'(x) ≥ 0) hoặc nghịch biến (g'(x) ≤ 0) của hàm số g(x) trên một khoảng K.
Lần lượt thay giá trị x từ các phương án vào g'(x) để kiểm tra điều kiện.
Loại các phương án không thỏa mãn điều kiện.

III. Bài Tập Tương Tự và Mở Rộng

Phần này cung cấp một loạt các bài tập tương tự và mở rộng, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Các bài tập này được thiết kế để tăng dần độ khó, từ đó giúp học sinh làm chủ hoàn toàn dạng toán này.

Đánh giá chung:

Tài liệu này là một nguồn tài liệu học tập hữu ích cho học sinh THPT đang ôn thi THPT Quốc gia. Với cách trình bày rõ ràng, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng, tài liệu này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn.