Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nguyên hàm – tích phân và ứng dụng được đăng tải trên https://giaibaitoan.com.
Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý:
a/ Nếu \(\int {f(x)dx = F(x) + C} \) và \(u = \varphi (x)\) là hàm số có đạo hàm thì \(\int {f(u)du = F(u) + C}.\)
b/ Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục thì khi đặt \(x = \varphi (t)\) trong đó \(\varphi (t)\) cùng với đạo hàm của nó (\(\varphi'(t)\)) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: \(\int {f(x)dx = \int {f\left[ {\varphi (t)} \right]} .\varphi'(t)dt} .\)
Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm \(I = \int {f(x)dx} \)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn \(x = \varphi (t)\), trong đó \(\varphi (t)\) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân \(dx = \varphi'(t)dt.\)
+ Bước 3: Biểu thị \(f(x)dx\) theo \(t\) và \(dt.\) Giả sử rằng \(f(x)dx = g(t)dt.\)
+ Bước 4: Khi đó \(I = \int {g(t)dt} .\)
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
+ Dấu hiệu \(\sqrt {{a^2} – {x^2}} \), đặt \(x = |a|\sin t\) với \(\frac{{ – \pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}\) hoặc \(x = |a|\cos t\) với \(0 \le t \le \pi .\)
+ Dấu hiệu \(\sqrt {{x^2} – {a^2}} \), đặt \(x = \frac{{|a|}}{{\sin t}}\) với \(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\) hoặc \(x = \frac{{|a|}}{{\cos t}}\) với \(t \in \left[ {0;\pi } \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}.\)
+ Dấu hiệu \(\sqrt {{a^2} + {x^2}} \), đặt \(x = |a|\tan t\) với \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}\) hoặc \(x = |a|\cot t\) với \(0 < t < \pi .\)
+ Dấu hiệu \(\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} \) hoặc \(\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} \), đặt \(x = a\cos 2t.\)
+ Dấu hiệu \(\sqrt {(x – a)(b – x)} \), đặt \(x = a + (b – a){\sin ^2}t.\)
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }}} .\)
Đặt \(x = sint\); \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.\)
Suy ra: \(dx = \cos tdt\) và \(\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} }} = \frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^3}t}}\) \( = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = d(\tan t).\)
Khi đó: \(I = \int {d(\tan t) = \tan t + C} \) \({ = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + C}.\)
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: \(\sqrt {{{(1 – {x^2})}^3}} = {\cos ^3}t\) và \(\tan t = \frac{x}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\) là bởi: \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t /> 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t\) và \(\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} .\)
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} .\)
Vì điều kiện \(|x| /> 1\), ta xét hai trường hợp:
+ Với \(x /> 1\):
Đặt \(x = \frac{1}{{\sin 2t}}\); \(0 < t < \frac{\pi }{4}.\)
Suy ra:
\(dx = \frac{{2\cos 2tdt}}{{{{\sin }^2}2t}}.\)
\(\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }} = – \frac{{2dt}}{{{{\sin }^3}2t}}\) \( = – \frac{{2{{(co{s^2}t + {{\sin }^2}t)}^2}dt}}{{8{{\sin }^3}t{{\cos }^3}t}}\)
\( = – \frac{1}{4}(\cot t.\frac{1}{{{{\sin }^2}t}}\) \( + \tan t.\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{2}{{\tan t}}.\frac{2}{{{{\cos }^2}t}})\)
\( = – \frac{1}{4}[ – \cot t.d(\cot t)\) \( + \tan t.d(\tan t) + 2\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}].\)
Khi đó: \(I = – \frac{1}{4}[ – \int {\cot t.d(\cot t)} \) \( + \int {\tan t.d(\tan t)} + 2\int {\frac{{d(\tan t)}}{{\tan t}}} ]\)
\( = – \frac{1}{4}( – \frac{1}{2}{\cot ^2}t + \frac{1}{2}{\tan ^2}t\) \( + 2\ln |\tan t|) + C\)
\( = \frac{1}{8}\left( {{{\cot }^2}t – {{\tan }^2}t} \right)\) \( – \frac{1}{2}\ln |\tan t| + C\)
\( = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} \) \( – \frac{1}{2}\ln |x – {x^2} – 1| + C.\)
+ Với \(x < –1\): Bạn đọc biến đổi tương tự.
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: \({\cot ^2}t – {\tan ^2}t = 4x\sqrt {{x^2} – 1} \) và \(\tan t = x – \sqrt {{x^2} – 1} \) là bởi:
\({\cot ^2}t – {\tan ^2}t = \frac{{{{\cos }^4}t – {{\sin }^4}t}}{{{{\cos }^2}t.{{\sin }^2}t}}\) \( = \frac{{4\cos 2t}}{{{{\sin }^2}2t}} = \frac{{4\sqrt {1 – {{\sin }^2}2t} }}{{{{\sin }^2}2t}}\) \( = \frac{4}{{\sin 2t}}\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} .\)
\(\tan t = \frac{{\sin t}}{{\cos t}}\) \( = \frac{{2{{\sin }^2}t}}{{2\sin t.\cos t}} = \frac{{1 – \cos 2t}}{{\sin 2t}}\) \( = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}}} \) \( = \frac{1}{{\sin 2t}} – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}2t}} – 1} .\)
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} .\)
Đặt \(x = tant\); \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}.\)
Suy ra:
\(dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}.\)
\(\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}\) \( = \frac{{{{\cos }^3}tdt}}{{{{\cos }^2}t}} = \cos tdt.\)
Khi đó: \(I = \int {\cos tdt = \sin t + C} \) \({ = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C}.\)
Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \cos t\) và \(\sin t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\) là bởi: \( – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos t /> 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t\\
\sin t = \tan t.\cos t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array} \right.\)
2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{2k + 1}}} }}} \) với \(k ∈ Z.\)
[ads]
Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tìm nguyên hàm \(I = \int {f(x)dx} \)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn \(t = \psi (x)\), trong đó \(\psi (x)\) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Xác định vi phân \(dt = \psi'(x)dx.\)
+ Bước 3: Biểu thị \(f(x)dx\) theo \(t\) và \(dt.\) Giả sử rằng \(f(x)dx = g(t)dt.\)
+ Bước 4: Khi đó \(I = \int {g(t)dt.} \)
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
+ Dấu hiệu \(f(x,\sqrt {\varphi (x)} )\), đặt \(t = \sqrt {\varphi (x)} .\)
+ Dấu hiệu \(f(x) = \frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x + e}}\), đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\) (với \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)).
+ Dấu hiệu \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}\): với \(x + a /> 0\) và \(x + b /> 0\), đặt \(t = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} \); với \(x + a < 0\) và \(x + b < 0\), đặt \(t = \sqrt { – x – a} + \sqrt { – x – b} .\)
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm \(I = \int {{x^3}{{\left( {2 – 3{x^2}} \right)}^8}dx} .\)
Đặt \(t = 2 – 3{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dt = – 6xdx\\
{x^2} = \frac{{2 – t}}{3}
\end{array} \right.\)
Khi đó: \({x^3}{\left( {2 – 3{x^2}} \right)^8}dx\) \( = {x^2}{\left( {2 – 3{x^2}} \right)^8}xdx\) \( = \frac{{2 – t}}{3}{t^8}\left( { – \frac{1}{6}dt} \right)\) \( = \frac{1}{{18}}\left( {{t^9} – 2{t^8}} \right)dt.\)
Nên: \(I = \frac{1}{{18}}\int {\left( {{t^9} – 2{t^8}} \right)dt} \) \({ = \frac{1}{{180}}{t^{10}} – \frac{1}{{81}}{t^9} + C}.\)
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 – x} }}} .\)
Đặt \(t = \sqrt {1 – x} \Rightarrow x = 1 – {t^2}.\)
Suy ra:
\(dx = – 2tdt.\)
\(\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 – x} }} = \frac{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}( – 2tdt)}}{t}\) \( = – 2\left( {{t^4} – 2{t^2} + 1} \right)dt.\)
Khi đó: \(I = – 2\int {\left( {{t^4} – 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \( = – 2\left( {\frac{{{t^5}}}{5} – \frac{{2{t^3}}}{3} + t} \right) + C\) \( = \frac{{ – 2}}{{15}}\left( {3{x^2} + 4x + 8} \right)\sqrt {1 – x} + C.\)
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm \(I = \int {{{\sin }^3}x\sqrt {\cos x} dx} .\)
Đặt \(t = \sqrt {\cos x} \Rightarrow {t^2} = \cos x.\)
Suy ra:
\(2tdt = – \sin xdx.\)
\({\sin ^3}x\sqrt {\cos x} dx\) \( = {\sin ^2}x\sqrt {\cos x} \sin xdx\) \( = \left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)\sqrt {\cos x} \sin xdx\)
\( = (1 – {t^4})t( – 2tdt)\) \( = (2{t^6} – 2{t^2})dt.\)
Khi đó: \( I = \int {(2{t^6} – 2{t^2})dt} \) \( = \frac{{2{t^7}}}{7} – \frac{{2{t^3}}}{3} + C\) \( = \frac{{2{{\left( {\sqrt {\cos x} } \right)}^7}}}{7} – \frac{{2{{\left( {\sqrt {\cos x} } \right)}^3}}}{3} + C.\)
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }}} .\)
Đặt \(t = \sqrt {1 + {e^x}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {e^x}.\)
Suy ra:
\(2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{t^2} – 1}}.\)
\(\frac{{dx}}{{\sqrt {1 + {e^x}} }} = \frac{{2tdt}}{{t\left( {{t^2} – 1} \right)}}\) \( = \frac{{2dt}}{{{t^2} – 1}} = \left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt.\)
Khi đó: \(I = \int {\left( {\frac{1}{{t – 1}} – \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} \) \( = \ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| + C\) \( = \ln \left| {\frac{{\sqrt {1 + {e^x}} – 1}}{{\sqrt {1 + {e^x}} + 1}}} \right| + C.\)
Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} \), với \(a ≠ 0.\)
Đặt \(t = x + \sqrt {{x^2} + a} .\)
Suy ra: \(dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} \right)dx\) \( = \frac{{\sqrt {{x^2} + a} + x}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}dx\) \( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }} = \frac{{dt}}{t}.\)
Khi đó: \(I = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln \left| t \right|} + C\) \( = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.\)
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}} .\)
Ta xét hai trường hợp:
+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 /> 0\\
x + 2 /> 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x /> – 1.\)
Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} .\)
Suy ra: \(dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }}} \right)dx\) \( = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)dx}}{{2\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = \frac{{2dt}}{t}.\)
Khi đó: \(I = 2\int {\frac{{dt}}{t} = 2\ln \left| t \right| + C} \) \({ = 2\ln \left| {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right|} + C.\)
+ \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 < 0\\
x + 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x < – 2.\)
Đặt \(t = \sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} .\)
Suy ra: \( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.\)
Khi đó: \(I = – 2\int {\frac{{dt}}{t} = – 2\ln \left| t \right|} + C\) \( = – 2\ln \left| {\sqrt { – \left( {x + 1} \right)} + \sqrt { – \left( {x + 2} \right)} } \right| + C.\)
Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là một trong những nội dung quan trọng thường xuyên xuất hiện trong chương trình học và các kỳ thi. Đây không chỉ là một dạng bài tập phổ biến mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá phương pháp tiếp cận hiệu quả, các mẹo học tập hữu ích, và những ví dụ chi tiết để bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.
Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng, từ cấp THCS, THPT đến các kỳ thi đại học. Đây là một dạng bài tập không chỉ kiểm tra khả năng nắm bắt kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.
Để giải hiệu quả bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số, bạn cần tuân thủ một quy trình rõ ràng và áp dụng các phương pháp phù hợp. Dưới đây là các bước cơ bản:
Bước 1: Hiểu Đề Bài
Bước 2: Lựa Chọn Phương Pháp Giải
Tùy thuộc vào dạng bài toán, bạn có thể lựa chọn một trong các phương pháp phổ biến như:
Bước 3: Triển Khai Lời Giải
Bước 4: Kiểm Tra Kết Quả
Để đạt hiệu quả cao khi giải dạng bài này, bạn nên áp dụng những mẹo sau:
Mẹo 1: Nắm Vững Kiến Thức Cơ Bản
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ các công thức, định lý, và định nghĩa liên quan đến bài toán. Điều này sẽ giúp bạn tránh được những lỗi sai cơ bản.
Mẹo 2: Luyện Tập Thường Xuyên
Thực hành là cách tốt nhất để cải thiện kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau để nắm vững phương pháp và cách trình bày.
Mẹo 3: Phân Tích Sai Lầm
Mỗi lần mắc lỗi, hãy dành thời gian phân tích nguyên nhân và cách khắc phục. Điều này sẽ giúp bạn tránh lặp lại sai lầm trong tương lai.
Mẹo 4: Sử Dụng Tài Liệu Tham Khảo
Tìm kiếm các tài liệu, bài giảng trực tuyến, hoặc sách tham khảo uy tín để học hỏi thêm phương pháp giải và các mẹo hay.
Ví Dụ 1: Đề Bài Cụ Thể
Giả sử đề bài yêu cầu: “Tìm giá trị của [yêu cầu cụ thể].”
Lời Giải:
Ví Dụ 2: Bài Tập Nâng Cao
Ngoài ra, bạn cũng có thể thử sức với bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng:
Nếu bạn cần thêm tài liệu tham khảo để giải bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số, dưới đây là một số nguồn hữu ích:
Theo các giáo viên và chuyên gia, việc học toán không chỉ dựa vào việc ghi nhớ công thức mà còn cần thực hành tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt. Dành thời gian phân tích bài toán kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào giải là yếu tố quyết định thành công.
Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số là một dạng bài không khó nếu bạn nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên. Với những mẹo học tập và ví dụ chi tiết được chia sẻ trong bài viết, hy vọng bạn đã có thêm nhiều ý tưởng để cải thiện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo thêm tài liệu và tìm kiếm sự hỗ trợ nếu gặp khó khăn trong quá trình học.
Hãy bắt đầu thực hành ngay hôm nay để đạt kết quả tốt nhất!
>> Xem thêm đáp án chi tiết về: tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
