Giải Bài Toán Hệ Số Góc Của Đường Thẳng Y = Ax + B (a Khác 0)

Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\) (\(a\) khác \(0\)).

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Đường thẳng \(y = ax + b\) có hệ số góc là \(a.\)

2. Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) với tia \(Ox.\)

a) Nếu \(\alpha < {90^0}\) thì \(a /> 0.\)

b) Nếu \(\alpha /> {90^0}\) thì \(a < 0.\)

Các đường thẳng có cùng hệ số \(a\) (\(a\) là hệ số của \(x\)) thì tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương pháp giải

1. Xác định hàm số \(y = ax + b.\)

2. Hai đường thẳng song song với nhau thì có hệ số góc bằng nhau.

3. \(\tan \alpha = \frac{{{\rm{Cạnh\:kề}}}}{{{\rm{Cạnh\:đối}}}}.\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + 3.\)

a) Xác định hệ số góc \(a\) biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm \(M(2;6).\)

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(M(2;6)\) khi và chỉ khi toạ độ của \(M\) thoả mãn phương trình của đồ thị. Tức là:

\(6 = a.2 + 3\) \( \Leftrightarrow 2a = 3\) \( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) là hệ số góc cần tìm. Lúc đó hàm số có dạng \(y = \frac{3}{2}x + 3.\)

b) Học sinh tự vẽ đồ thị.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = -2x + 3.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) và trục \(Ox\) (làm tròn đến phút).

a) Lập bảng giá trị của hàm số tại \(x = 0\) và \(x = \frac{3}{2}.\)

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

Ta được hai điểm \(A(0;3)\) và \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right).\)

Nối \(A\) và \(B\) ta được đồ thị hàm số \(y = -2x + 3.\)

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

b) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(y = -2x + 3\) với trục \(Ox\) thì: \(\widehat {ABX} = {180^0} – \widehat {ABO}.\)

Vì \(OA\), \(OB\) lần lượt là cạnh đối và cạnh kề của góc \(\widehat {ABO}\) trong tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\), nên: \(\tan \widehat {ABO} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{1}:\frac{3}{2} = 2.\)

Do đó \(\widehat {ABO} \approx {56^0}19’\), suy ra \(\alpha \approx {123^0}41′.\)

Ví dụ 3:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau:

\(y = – x + 2\).

\(y = \frac{1}{2}x + 2.\)

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(y = -x + 2\) và \(y = \frac{1}{2}x + 2\) với trục hoành theo thứ tự là \(A\), \(B\) và giao điểm của chúng là \(C.\) Tính các góc của tam giác \(ABC.\)

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) (đơn vị đo trên trục toạ độ là cm).

a) Lập bảng giá trị của các hàm số:

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

b) Ta có: \(A(2;0)\), \(B(-4;0)\), \(C(0;2).\)

\(\tan A = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{2} = 1\) \( \Rightarrow \widehat A = {45^0}.\)

\(\tan B = \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat B \approx {27^0}.\)

\(\widehat C = {180^0} – (\widehat A + \widehat B)\) \( \approx {180^0} – \left( {{{27}^0} + {{45}^0}} \right) = {108^0}.\)

c) Gọi \(p\), \(S\) theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) thì:

\(S = \frac{1}{2}OC.AB\) \( = \frac{1}{2}.2.6 = 6\) (\(c{m^2}\)).

\(p = AB + BC + CA\) \( = 6 + BC + CA.\)

Áp dụng hệ thức Pytago vào hai tam giác vuông \(OBC\) và \(OCA\) ta được:

\(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} \) \( = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} \) (cm).

\(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} \) \( = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 \) (cm).

Vậy \(p = 6 + \sqrt {20} + \sqrt 8 \) \( \approx 13,3\) (cm).

Ví dụ 4:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x + 1\), \(y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x + \sqrt 3 \), \(y = \sqrt 3 x – \sqrt 3 .\)

b) Gọi \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục \(Ox\), chứng minh rằng \(\tan \alpha = 1\), \(\tan \beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\), \(\tan \gamma = \sqrt 3 .\) Tính số đo các góc \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma .\)

a) Lập bảng giá trị của các hàm số:

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

b) Gọi tên các giao điểm của các đồ thị với \(Ox\), \(Oy\) như trên hình vẽ. Ta có:

\(\tan \alpha = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{1}{1} = 1\) \( \Rightarrow \alpha = {45^0}.\)

\(\tan \beta = \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow \beta = {30^0}.\)

\(\tan \gamma = \frac{{OF}}{{OE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \gamma = {60^0}.\)

III. Bài tập

1. Cho hàm số bậc nhất \(y = ax – 3\) \((1).\) Hãy xác định hệ số \(a\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = 2x – 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)

b) Đồ thị của hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = -3x + 1\) tại điểm có tung độ bằng \(-2.\)

2. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và:

a) Đi qua điểm \(M(1;2).\)

b) Đi qua điểm \(N(-2;1).\)

c) Có nhận xét gì về hai đường thẳng trên.

d) Vẽ đồ thị của các đường thẳng tìm được ở hai câu a, b trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1.

a) Xét phương trình tương giao: \(ax – 3 = 2x – 1.\)

Đồ thị hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = 2x – 1\) tại điểm \(x = 2\) khi và chỉ khi \(x = 2\) là nghiệm của phương trình tương giao hay \(a.2 – 3 = 2.2 – 1\) \( \Leftrightarrow a = 3.\)

b) Đồ thị hàm số \((1)\) cắt đường thẳng \(y = -3x + 1\) tại điểm có tung độ bằng \(-2\) khi và chỉ khi hệ điều kiện sau được thoả mãn:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{ – 2 = – 3x + 1}\\

{ax – 3 = – 3x + 1}

\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{a – 3 = – 3 + 1}

\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{a = 1}

\end{array}} \right..\)

2. Vì đường thẳng đi qua gốc toạ độ có phương trình \(y = ax.\)

a) Đường thẳng \(y = ax\) đi qua \(M(1;2)\) khi và chỉ khi \(2 = a.\)

Hàm số có dạng \(y = 2x.\)

b) Đường thẳng \(y = ax\) đi qua \(N(-2;1)\) khi và chỉ khi:

\(1 = – 2a\) \( \Leftrightarrow a = – \frac{1}{2}.\)

Hàm số có dạng \(y = – \frac{1}{2}x.\)

c) Hai đường thẳng trên vuông góc với nhau vì tích hai hệ số góc:

\(2.\left( {\frac{1}{2}} \right) = – 1.\)

d) Học sinh tự vẽ đồ thị.