Giải Bài Toán Tài Liệu Tự Học Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng – Nguyễn Trọng

Tài liệu "Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng" do thầy giáo Nguyễn Trọng biên soạn, với độ dày 80 trang, là một nguồn tài liệu học tập hữu ích dành cho học sinh lớp 12 chương trình Toán cơ bản. Tài liệu tập trung vào việc tự học chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân, một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Giải tích 12.

Cấu trúc tài liệu được chia thành 4 bài học chính, mỗi bài học đi sâu vào một khía cạnh cụ thể của chuyên đề:

Bài 1: Nguyên hàm

Dạng 1: Giới thiệu định nghĩa, tính chất của nguyên hàm và các nguyên hàm cơ bản thường gặp.
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
Dạng 3: Kỹ thuật tích phân từng phần, bao gồm các bài toán cụ thể:

Bài toán 1: Tính tích phân của dạng \(I = \int P (x)\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x}\\{\cos x}\end{array}} \right]dx\) với \(P(x)\) là đa thức.
Bài toán 2: Tính tích phân của dạng \(I = \int P (x){e^{ax + b}}dx\) với \(P(x)\) là đa thức.
Bài toán 3: Tính tích phân của dạng \(I = \int P (x)\ln (mx + n)dx\) với \(P(x)\) là đa thức.

Bài 2: Tích phân đổi biến số

Dạng 1: Phương pháp đổi biến số đơn giản.
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số phức tạp hơn, đặc biệt chú trọng các biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức như \(\sqrt {{a^2} – {x^2}} \), \(\sqrt {{x^2} – {a^2}} \), \(\sqrt {{x^2} + {a^2}} \), \(\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} \) hoặc \(\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} \).

Bài 3: Tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân từng phần với các hàm số lượng giác và hàm mũ. \(\int_\alpha ^\beta f (x)\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin ax}\\{\cos ax}\\{{e^{ax}}}\end{array}} \right]dx.\)
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm logarit. \(\int_a^\beta f (x)\ln (ax)dx.\)
Dạng 3: Tích phân từng phần kết hợp hàm mũ và lượng giác. \(\int_\alpha ^\beta {{e^{ax}}} .\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin ax}\\{\cos ax}\end{array}} \right]dx.\)

Bài 4: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành hoặc giữa hai đồ thị hàm số.

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\).
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\).

Dạng 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay.

Bài toán 1: Quay quanh trục \(Ox\) với \(y = f(x)\) và \(y = 0\).
Bài toán 2: Quay quanh trục \(Ox\) với \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\).
Bài toán 3: Quay quanh trục \(Ox\) với \(x = g(y)\), \(y = a\) và \(y = b\).
Bài toán 4: Quay quanh trục \(Ox\) với \(x = f(y)\) và \(x = g(y)\), \(y = a\) và \(y = b\).

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu có cấu trúc rõ ràng, mạch lạc, phân chia nội dung theo từng dạng bài tập cụ thể, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và nắm bắt kiến thức. Việc đưa ra các bài toán ví dụ minh họa cho từng dạng bài là một điểm cộng lớn, giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào thực tế. Tài liệu đặc biệt hữu ích cho học sinh lớp 12 chương trình cơ bản, bởi nó tập trung vào các kỹ năng và phương pháp giải quyết các bài toán thường gặp trong chương trình học. Tuy nhiên, để nâng cao hơn nữa chất lượng tài liệu, có thể bổ sung thêm các bài tập tự luyện với mức độ khó tăng dần, cùng với đáp án và lời giải chi tiết để học sinh có thể tự kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của mình.