Giải Bài Toán Các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn Điển Hình – Đặng Việt Đông

Tích phân hàm ẩn: Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia và những thách thức trong chương trình học

Tích phân hàm ẩn là một chủ đề toán học thường xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia, đặc biệt là năm 2020, và được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt. Tuy nhiên, nội dung này lại ít được đề cập chi tiết trong sách giáo khoa Giải tích 12, gây ra không ít trở ngại cho học sinh trong quá trình ôn tập và làm bài.

Để hỗ trợ học sinh và giáo viên, giaibaitoan.com giới thiệu tài liệu chuyên đề Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình do thầy Đặng Việt Đông biên soạn. Đây là một tài liệu hữu ích với độ dài 57 trang, tập trung vào việc hướng dẫn giải các bài toán tích phân hàm ẩn thường gặp trong các kỳ thi trắc nghiệm Toán 12 và đề thi thử THPT Quốc gia.

Nội dung chính của chuyên đề được phân chia thành các dạng bài tập sau:

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) thì \((uv)’ = u’v + uv’.\) Suy ra, nếu \(\left[ {f(x).g(x)} \right]’ = h(x)\) thì \(f(x).g(x) = \int h (x)dx.\)
Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) thì \(\left( {\frac{u}{v}} \right)’ = \frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\) với \(v \ne 0.\) Do đó, nếu \(\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)’ = h(x)\) thì \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \int h (x)dx.\)
Nếu \(u = u(x)\) thì \(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\) với \(u > 0.\) Từ đó, nếu \(\left[ {\sqrt {f(x)} } \right]’ = h(x)\) thì \(\sqrt {f(x)} = \int h (x)dx.\)
Nếu \(u = u(x)\) thì \(\left( {{e^u}} \right)’ = u’.{e^u}.\) Vậy, nếu \(\left( {{e^{f(x)}}} \right)’ = g(x)\) thì \({e^{f(x)}} = \int g (x)dx.\)
Nếu \(u = u(x)\) nhận giá trị dương trên K thì \([\ln u]’ = \frac{{u’}}{u}\) trên \(K.\) Suy ra, nếu \(\left[ {\ln (f(x))} \right]’ = g(x)\) thì \(\ln (f(x)) = \int g (x)dx.\)

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Giải quyết các bài toán cho \(\int_a^b {u’} (x).f[u(x)]dx\) hoặc \(\int_a^b f (x)dx.\)
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Tính \(\int_a^b f (x)dx\) với \(f(x)\) thỏa mãn \(A.f(x) + B.u’.f(u) + C.f(a + b – x) = g(x).\)
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3: Sử dụng phép đặt \(t = u(x)\) và \(t = v(x)\) để giải hệ phương trình, tìm hàm số \(f(x).\)
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4: Áp dụng công thức \(I = \int_a^b {\frac{{dx}}{{k + f(x)}}} = \frac{{b – a}}{{2k}}\) khi \(f(x).f(a + b – x) = {k^2}.\)
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: Tính tích phân \(I = \int_a^b f (x)dx\) với hàm \(y = f(x)\) thỏa mãn \(g[f(x)] = x\) và \(g(t)\) là hàm đơn điệu.

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Phương pháp tích phân từng phần được áp dụng cho các bài toán có giả thiết hoặc kết luận chứa các tích phân \(\int_a^b u (x).f'(x)dx\) hoặc \(\int_a^b {u’} (x).f(x)dx.\)

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

Giải quyết các bài toán tích phân liên quan đến phương trình \(f'(x) + p(x).f(x) = h(x).\)

Tài liệu tham khảo thêm:

Chuyên đề tích phân hàm ẩn – Hoàng Phi Hùng
Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải
Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt
Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

Nhận xét:

Chuyên đề này cung cấp một hệ thống các dạng bài tập tích phân hàm ẩn phổ biến, cùng với các phương pháp giải chi tiết. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng trong chuyên đề này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tích phân hàm ẩn trong các kỳ thi quan trọng.