Giải Bài Toán Đề Khảo Sát Hsg Toán 7 Năm 2017 – 2018 Phòng Gd&đt Thành Phố Kon Tum

Phân tích Đề Khảo Sát HSG Toán 7 - Kon Tum (2017-2018): Đánh giá và Giải pháp Chi tiết

Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 7 do Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Kon Tum tổ chức vào ngày 03 tháng 04 năm 2017 là một đề thi có cấu trúc khá điển hình, đánh giá được nhiều khía cạnh năng lực của học sinh. Đề bao gồm các câu hỏi về hình học, đại số, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng vận dụng linh hoạt và tư duy logic tốt. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích từng câu hỏi, cung cấp lời giải chi tiết và nhận xét về mức độ khó, kỹ năng cần thiết để giải quyết.

Câu 1: Hình học - Tam giác đều và tam giác vuông

Đây là câu hình học kinh điển, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Đề bài yêu cầu chứng minh các tính chất liên quan đến tam giác đều và tam giác vuông, đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức về:

Các tính chất của tam giác đều (các cạnh bằng nhau, các góc bằng 60 độ).
Các tính chất của tam giác vuông (định lý Pitago, các góc phụ nhau).
Các trường hợp bằng nhau của tam giác (c-g-c, g-c-g, c-c-c).
Tính chất của đường phân giác.

Lời giải gợi ý:

Chứng minh BE = CD: Sử dụng tam giác ABD và ACE đều, kết hợp với tam giác ABC vuông tại A, chứng minh được hai tam giác ABE và ACD bằng nhau (c-g-c) từ đó suy ra BE = CD.
Chứng minh BDE là tam giác cân: Chứng minh góc DBE = góc EDC (tính bằng góc dựa vào cung bằng nhau hoặc sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác). Từ đó suy ra tam giác BDE cân tại E.
Chứng minh góc EIC = 60^o và IA là tia phân giác của DIE: Sử dụng tính chất góc tạo bởi đường thẳng và đường tròn, hoặc các tính chất góc trong tam giác để chứng minh góc EIC = 60^o. Chứng minh IA là tia phân giác của DIE bằng cách chứng minh các tam giác DAI và EAI bằng nhau.

Nhận xét: Câu này có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích bài toán và lựa chọn phương pháp chứng minh phù hợp. Điểm cộng cho học sinh giải được câu này là khả năng suy luận logic và trình bày bài toán rõ ràng.

Câu 2: Đại số - Số hữu tỉ và nghịch đảo

Câu hỏi này tập trung vào kiến thức về số hữu tỉ và nghịch đảo của một số. Học sinh cần hiểu rõ định nghĩa số hữu tỉ, cách tìm nghịch đảo và khả năng giải phương trình đơn giản.

Lời giải gợi ý:

Đặt x là số hữu tỉ cần tìm. Theo đề bài, ta có phương trình: x + 1/x = n (n là số nguyên). Biến đổi phương trình, ta được: x² - nx + 1 = 0. Đây là phương trình bậc hai, nghiệm của phương trình là: x = (n ± √(n² - 4))/2. Để x là số hữu tỉ, n² - 4 phải là số chính phương. Từ đó tìm các giá trị của n thỏa mãn và suy ra các giá trị tương ứng của x.

Nhận xét: Câu này có độ khó vừa phải, kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức về phương trình bậc hai và điều kiện để một biểu thức là số hữu tỉ.

Câu 3: Đại số - Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất

Đây là câu đại số mang tính chất nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng biến đổi bất đẳng thức và sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Học sinh cần nắm vững các kiến thức về:

Các bất đẳng thức cơ bản.
Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia bất đẳng thức.
Kỹ năng đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Lời giải gợi ý:

Từ a + 3c = 2016 và a + 2b = 2017, ta có thể biểu diễn a, b, c theo một biến. Ví dụ: a = 2016 - 3c và b = (2017 - a)/2 = (2017 - (2016 - 3c))/2 = (1 + 3c)/2. Thay a và b vào biểu thức P, ta được: P = (2016 - 3c) + (1 + 3c)/2 + c = 2016 + 1/2 + c/2 = 4033/2 + c/2. Để P đạt giá trị lớn nhất, c phải đạt giá trị lớn nhất. Vì a ≥ 0, nên 2016 - 3c ≥ 0, suy ra c ≤ 2016/3. Vậy c_max = 2016/3. Thay c_max vào biểu thức P, ta tìm được giá trị lớn nhất của P.

Nhận xét: Câu này có độ khó cao nhất trong đề thi, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích bài toán, biến đổi biểu thức một cách khéo léo và sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức để tìm ra kết quả. Đây là một câu hỏi tốt để phân loại học sinh giỏi.

Tổng kết:

Đề khảo sát HSG Toán 7 - Kon Tum (2017-2018) là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi bao gồm các câu hỏi thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, khả năng vận dụng linh hoạt và tư duy logic tốt. Việc giải chi tiết và phân tích đề thi này sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.