Giải Bài Toán Đề Học Sinh Giỏi Toán 9 Cấp Tỉnh Năm 2022 – 2023 Sở Gd&đt Ninh Bình

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 THCS cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2022 – 2023, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình tổ chức vào ngày 14 tháng 02 năm 2023. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho việc ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đồng thời đánh giá năng lực giải quyết các bài toán đa dạng và nâng cao của học sinh.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

Bài 1: Phương trình bậc ba
Cho phương trình (m + 1)x³ + (3m − 1)x² − x − 4m + 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Nhận xét: Đây là một bài toán về phương trình bậc ba, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc ba, các phương pháp giải phương trình bậc ba (nếu có thể) và kỹ năng sử dụng các công cụ đại số để tìm ra giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và biến đổi phương trình của học sinh.
Bài 2: Hình học phẳng
Cho 3 điểm phân biệt cố định A, B, C cùng nằm trên đường thẳng d (điểm B nằm giữa A và C), gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường tròn tâm O luôn đi qua hai điểm B và C (điểm O không thuộc d). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt OA tại điểm H và cắt BC tại điểm K.
1. Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp và giaibaitoan.com = AN².
2. Khi đường tròn tâm O thay đổi, chứng minh MN luôn đi qua điểm K cố định.
3. Tia AO cắt đường tròn tâm O tại hai điểm P, Q (điểm P nằm giữa A và O). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD và cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Nhận xét: Bài toán này là một bài toán hình học phẳng điển hình, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tam giác đồng dạng và các tính chất của hình học. Để giải bài toán này, học sinh cần có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ giữa các điểm và đường thẳng, và vận dụng linh hoạt các định lý và tính chất hình học đã học. Đặc biệt, phần chứng minh MN đi qua điểm K cố định đòi hỏi sự suy luận logic và kỹ năng sử dụng tọa độ hoặc các phương pháp biến hình.
Bài 3: Tổ hợp và Số học
1. Cho một bảng ô vuông kích thước 10 x 10 gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh bằng 1). Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một trong các số −1; 0; 1. Xét các tổng của tất cả các số đã điền trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng đã cho. Hỏi các tổng đó có thể nhận bao nhiêu giá trị và chứng minh trong đó có hai tổng bằng nhau.
  
  Nhận xét: Đây là một bài toán kết hợp giữa tổ hợp và số học, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về các khái niệm như tổng, giá trị, và khả năng xảy ra của các trường hợp. Để giải bài toán này, học sinh cần phân tích các ràng buộc của đề bài và sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu) để chứng minh sự tồn tại của hai tổng bằng nhau.
2. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng đã cho tồn tại một số được điền ít nhất 17 lần.
  
  Nhận xét: Bài toán này là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về số nguyên tố cùng nhau và kỹ năng chứng minh bằng phản chứng. Để giải bài toán này, học sinh cần phân tích các điều kiện của đề bài và sử dụng các tính chất của số nguyên tố cùng nhau để đưa ra kết luận.

Nhìn chung, đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh Ninh Bình năm học 2022 – 2023 là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một cơ hội tốt để học sinh rèn luyện và nâng cao năng lực giải quyết các bài toán Toán học.