Giải Bài Toán Đề Học Sinh Giỏi Toán 8 Năm 2022 – 2023 Phòng Gd&đt Thành Phố Vinh – Nghệ An

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 8 một đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 năm học 2022 – 2023 do Phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An tổ chức. Đề thi này không chỉ là một bài kiểm tra năng lực, mà còn là cơ hội tuyệt vời để rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán khó, đa dạng và nâng cao kiến thức toán học.

Điểm đặc biệt của đề thi này là sự kết hợp hài hòa giữa các chủ đề đại số, hình học và số học, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Đề thi đi kèm với đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, giúp học sinh tự đánh giá kết quả và hiểu rõ hơn về phương pháp giải từng bài toán.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chính của đề thi:

Bài toán 1 (Số học và Đại số): Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng A = a² + b² + c² là số chính phương. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng các kỹ năng biến đổi đại số, sử dụng các hằng đẳng thức và đánh giá để chứng minh. Việc tìm ra mối liên hệ giữa ab + bc + ca và a² + b² + c² là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

Tiếp theo, cho S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n. Biết rằng với bất kỳ số nguyên dương n ta có 0 ≤ S(n) ≤ n. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2S(n) = n²⁰²³ - 7. Bài toán này kết hợp kiến thức về tổng các chữ số và phương trình số học. Học sinh cần phân tích cấu trúc của phương trình và sử dụng các tính chất của tổng các chữ số để tìm ra nghiệm.
Bài toán 2 (Đại số): Tìm các hệ số a, b, c để đa thức f(x) = x³ + ax² + bx + c chia hết cho đa thức x - 2 và chia cho đa thức 2x + 1 thì dư 3. Bài toán này yêu cầu học sinh nắm vững định lý về chia đa thức và sử dụng các điều kiện chia hết và số dư để thiết lập hệ phương trình và giải tìm các hệ số.

Cho a, b, c, d, e là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d + e = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abcde + a²b²c². Bài toán này liên quan đến bất đẳng thức AM-GM và kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Việc áp dụng đúng bất đẳng thức và lựa chọn điểm rơi phù hợp là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán.
Bài toán 3 (Hình học): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB ≠ AC, trung tuyến AM. Kẻ BE vuông góc với AM. Trên đoạn MC lấy điểm F sao cho MF = ME. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AF, EC. AF cắt CE ở O. Chứng minh rằng ΔOEF ∽ ΔOAC. Biết tỷ số AM/BC = 1/2, tính tỷ số MN/MI. Chứng minh rằng NB = NC. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về tam giác, trung tuyến, đường vuông góc và các định lý về tam giác đồng dạng. Việc phân tích hình vẽ, tìm ra các cặp tam giác đồng dạng và sử dụng các tính chất của trung điểm là những bước quan trọng để giải quyết bài toán.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E, tia EN cắt đoạn thẳng AC tại F. Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc EMF. Bài toán này kết hợp kiến thức về hình thang cân, trung điểm và tính chất của tia phân giác. Học sinh cần sử dụng các tính chất của hình thang cân và các định lý về đường thẳng song song để chứng minh.

Nhìn chung, đề thi này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề tốt. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán 8.