Giải Bài Toán Đề Chọn Đội Tuyển Thi Hsg Qg Môn Toán Thpt Năm 2024 – 2025 Sở Gd&đt Đồng Tháp

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp tổ chức. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 08 tháng 08 năm 2024, đề thi được công bố kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

Bài 1: Dãy số và bất đẳng thức
Cho số thực dương a. Xét dãy số (x_n) xác định bởi x₁ = a và x_n+1 = x_n³ − x_n² + 1 với mọi n ≥ 1.
- a) Khi a = 1/2, chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, ta có: x_n ≥ (2n − 1)/2n.
- b) Chứng minh rằng dãy số (x_n) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi a ≤ 1.
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc khảo sát dãy số, sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh bất đẳng thức và phân tích điều kiện để dãy số hội tụ. Câu a yêu cầu thí sinh phải có kỹ năng biến đổi và đánh giá bất đẳng thức tốt. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết về giới hạn của dãy số và điều kiện hội tụ.
Bài 2: Hình học
Cho tam giác nhọn, không cân ABC có các đường cao BE, CF. Đường tròn đường kính BE và đường tròn đường kính CF cắt nhau tại các điểm X, Y. Đoạn thẳng BE cắt đường tròn đường kính CF tại điểm N. Đoạn thẳng CF cắt đường tròn đường kính BE tại điểm P. Các đường thẳng XY và EF cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
- a) Các đường thẳng BE, CF, XY đồng quy.
- b) MN = MP.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, đường cao trong tam giác và các tính chất liên quan. Việc sử dụng các tính chất của giao điểm của đường tròn và đường thẳng, cùng với việc áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus có thể giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Câu b là một kết quả khá thú vị và đòi hỏi sự quan sát tinh tế.
Bài 3: Tổ hợp
Kí hiệu S là tập hợp 2024 số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có tất cả bao nhiêu tập con khác rỗng của S mà tổng tất cả các số thuộc mỗi tập con đều chia hết cho 256?

Nhận xét: Bài toán tổ hợp này mang tính chất thử thách cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về số học, đặc biệt là tính chất chia hết. Việc tìm ra một phương pháp tiếp cận hiệu quả để đếm số lượng tập con thỏa mãn điều kiện đề bài là một vấn đề không hề đơn giản. Có thể cần phải sử dụng các kỹ thuật đếm nâng cao hoặc các kiến thức về đại số tuyến tính để giải quyết bài toán này.

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán THPT năm 2024 – 2025 tỉnh Đồng Tháp là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi. Việc giải chi tiết đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm quen với dạng đề thi thực tế.