Giải Bài Toán Đề Thi Hsg Toán 12 Thpt Chuyên Năm Học 2019 – 2020 Sở Gd&đt Vĩnh Phúc

Phân tích Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Chuyên Vĩnh Phúc Năm Học 2019 – 2020

Ngày …/10/2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán 12 chương trình THPT chuyên năm học 2019 – 2020. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng linh hoạt trong tư duy và vận dụng các kỹ thuật giải toán nâng cao.

Đề thi có cấu trúc quen thuộc của các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán: dạng đề tự luận với 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi gồm 01 trang, kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Việc có sẵn đáp án và thang điểm chi tiết là một điểm cộng, giúp thí sinh có thể tự đánh giá năng lực và rút kinh nghiệm sau kỳ thi.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi và một số nhận xét ban đầu:

Bài Hình Học:
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn (A) có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại điểm P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn (A) lần lượt tại Q và T khác K.
- a) Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm Q, A, P thẳng hàng.
- b) Đường thẳng DK cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba đường thẳng AX, EF, TI đồng quy.
- c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn (I).
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình trong các kỳ thi học sinh giỏi. Bài toán kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn, tam giác, tính chất tiếp xúc và đồng quy. Độ khó của bài toán được đánh giá ở mức cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng quan sát tốt, xây dựng các quan hệ hình học một cách chính xác và sử dụng các định lý, tính chất một cách linh hoạt. Việc sử dụng phương pháp tọa độ có thể hỗ trợ giải quyết bài toán này, tuy nhiên, cần có sự tính toán cẩn thận.
Bài Đại Số:
Cho P(x) là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số thực sao cho (P(x))^2 = P(Q(x)) với mọi x thuộc R. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P(x) đều bằng nhau.

Nhận xét: Bài toán đại số này tập trung vào việc phân tích cấu trúc của đa thức và sử dụng các tính chất của nghiệm đa thức. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần nắm vững các kiến thức về nghiệm thực của đa thức, tính chất của hàm số và các kỹ thuật chứng minh đại số. Bài toán có tính chất thử thách, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận tốt.
Bài Số Học:
Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago P, Q bất kỳ, ta luôn tìm được m tập Pytago P1, P2 … Pm (m ≥ 2) sao cho P1 = P, Pm = Q và Pi giao Pi+1 khác rỗng với mọi 1 ≤ i ≤ m – 1.

Nhận xét: Bài toán số học này liên quan đến các bộ số Pytago và việc chứng minh sự tồn tại của một chuỗi các tập Pytago liên tiếp. Bài toán đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ định nghĩa về bộ số Pytago, các tính chất của chúng và khả năng xây dựng các lập luận logic để chứng minh sự tồn tại của chuỗi các tập Pytago thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đánh giá chung: Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 tỉnh Vĩnh Phúc là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo và đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải toán tốt và khả năng tư duy độc lập. Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các thí sinh đang chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi Toán.