Giải Bài Toán Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 Năm Học 2017 – 2018 Sở Gd Và Đt Nam Định

Phân tích Đề thi Chọn Học sinh Giỏi Toán 12 năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Nam Định: Cấu trúc và Đánh giá ban đầu

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2017 – 2018 của Sở GD&ĐT Nam Định là một bài kiểm tra toàn diện, được thiết kế để đánh giá khả năng của học sinh trong việc vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau. Đề thi được cấu trúc thành hai phần chính:

Phần Trắc nghiệm: Gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, thời gian làm bài 60 phút. Phần này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức nền tảng, khả năng tính toán nhanh và tư duy logic của học sinh.
Phần Tự luận: Gồm 5 bài toán tự luận, thời gian làm bài 75 phút. Đây là phần then chốt để đánh giá khả năng phân tích, suy luận, chứng minh và giải quyết vấn đề một cách độc lập của học sinh.

Mục tiêu chính của đề thi là chọn lọc những học sinh có năng lực đặc biệt về môn Toán trong các trường THPT trên toàn tỉnh Nam Định, tạo tiền đề cho việc bồi dưỡng và tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế.

Điểm nhấn từ một số bài toán trích dẫn:

Dưới đây là phân tích sơ bộ về một số bài toán được trích dẫn từ đề thi, cho thấy mức độ khó và phạm vi kiến thức được kiểm tra:

Bài toán 1 (Hình học không gian): "Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) với a, b, c là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 6. Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là I. Giá trị nhỏ nhất của OI bằng?"

Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và kỹ năng tối ưu hóa. Việc tìm ra mối liên hệ giữa các biến a, b, c và khoảng cách OI thông qua các công thức hình học là yếu tố then chốt để giải quyết bài toán. Đây là một bài toán điển hình thuộc dạng khó, đòi hỏi sự linh hoạt trong tư duy và kỹ năng biến đổi đại số.

Bài toán 2 (Xác suất): "Cho X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc X. Xác suất để lấy được một số chia hết cho 45 là?"

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra kiến thức về tổ hợp, xác suất và tính chia hết. Học sinh cần xác định được số phần tử của tập X, sau đó xác định số các số chia hết cho 45 (tức là chia hết cho cả 5 và 9) trong tập X. Việc áp dụng các quy tắc đếm và công thức xác suất là cần thiết để tìm ra đáp án chính xác. Bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong tính toán.

Bài toán 3 (Đồ thị hàm số): "Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương nhỏ hơn 10 để đồ thị hàm số y = x^3 – mx + m – 1 có hai điểm cực trị nằm về 2 phía của trục Ox?"

Nhận xét: Bài toán này liên quan đến kiến thức về đạo hàm, điểm cực trị và điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox. Học sinh cần tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị (tức là đạo hàm bậc nhất có hai nghiệm phân biệt) và sau đó sử dụng điều kiện về dấu của giá trị hàm số tại hai điểm cực trị để đảm bảo chúng nằm về hai phía của trục Ox. Đây là một bài toán kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về đồ thị hàm số.

Đánh giá chung ban đầu:

Nhìn chung, đề thi có độ khó tương đối cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết bài toán tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao phủ nhiều lĩnh vực khác nhau của chương trình Toán học THPT, đặc biệt là Hình học không gian, Đại số và Giải tích. Đề thi này là một thử thách lớn đối với học sinh, đồng thời là cơ hội để các em thể hiện năng lực và đam mê với môn Toán.