Giải Bài Toán Đề Lập Đội Tuyển Thi Hsg Qg Môn Toán Thpt Năm 2024 – 2025 Sở Gd&đt Quảng Ninh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi lập đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh tổ chức, diễn ra vào ngày 17 và 18 tháng 09 năm 2024. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp quốc gia.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán trong đề thi:

Bài 1: Tổ hợp và Logic
Một thầy giáo ra đề thi thử học kỳ I môn Toán cho 16 học sinh. Đề thi có n câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi học sinh chỉ được chọn một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy hai học sinh bất kỳ có nhiều nhất một câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.
- a) Với n = 3, hãy chỉ ra một ví dụ về phương án trả lời của 16 học sinh thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
- b) Tính giá trị lớn nhất của n.
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa tư duy tổ hợp và khả năng suy luận logic. Phần a) yêu cầu học sinh đưa ra một ví dụ cụ thể, giúp làm rõ hiểu về điều kiện bài toán. Phần b) là một bài toán tìm giá trị lớn nhất, đòi hỏi học sinh phải xây dựng được các bất đẳng thức hoặc sử dụng các kỹ thuật đếm để tìm ra kết quả.
Bài 2: Hình học
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Lấy M dịch chuyển trên tia đối tia CI và N dịch chuyển trên tia đối tia DI sao cho MN // DC. Tiếp tuyến tại M của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ngoại tiếp tam giác NAD tại K.
- a) Chứng minh rằng I, K liên hợp đẳng giác trong tứ giác ABMN.
- b) Chứng minh rằng K dịch chuyển trên một đường thẳng cố định khi M, N dịch chuyển.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian khá phức tạp, đòi hỏi học sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn ngoại tiếp, tiếp tuyến, tính chất của tứ giác ngoại tiếp và các phép biến hình. Việc chứng minh I, K liên hợp đẳng giác đòi hỏi sự khéo léo trong việc sử dụng các tính chất hình học. Chứng minh K di chuyển trên một đường thẳng cố định là một thử thách lớn, đòi hỏi học sinh phải tìm ra mối liên hệ giữa vị trí của K với các yếu tố bất biến trong hình.
Bài 3: Số học
Cho tập hợp X gồm 2n số nguyên dương. Một cách chia đẹp đối với tập X là một cách chia 2n số này thành n cặp sao cho tích của hai số trong cùng một cặp không là số chính phương. Giả sử có tồn tại một cách chia đẹp đối với tập X. Hỏi có ít nhất bao nhiêu cách chia đẹp đối với tập X khi:
- a) n = 2.
- b) n = 2025.
Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực số học, tập trung vào việc phân tích các số nguyên dương và kiểm tra tính chất chính phương. Việc tìm số cách chia đẹp đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về các số chính phương và sử dụng các kỹ thuật đếm một cách hiệu quả. Trường hợp n = 2 có thể giải quyết bằng cách xét các trường hợp cụ thể, trong khi trường hợp n = 2025 đòi hỏi một cách tiếp cận tổng quát hơn.

Bộ đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và nâng cao khả năng cạnh tranh trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia.