Giải Bài Toán Đề Hsg Toán Cấp Trường Năm 2023 – 2024 Trường Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 04 tháng 09 năm 2023, đề thi đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, hứa hẹn sẽ là tài liệu ôn luyện hữu ích cho các em học sinh có đam mê và mong muốn đạt thành tích cao trong môn Toán.

Bộ đề năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán. Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

Bài 1: Hình học
Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. H là hình chiếu của A trên BC. N là trung điểm của AH. Đường thẳng qua D, N cắt CA, AB lần lượt tại J, S; BJ cắt CS tại P. Các đường thẳng DA, DP lần lượt cắt (I) tại G, L. Gọi EF cắt BC tại X.
- a) Chứng minh rằng A, P, X thẳng hàng.
- b) Gọi K, T theo thứ tự là giao điểm thứ hai của DI, DN và (I). Chứng minh: K, T, X thẳng hàng.
- c) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, G, L cùng nằm trên một đường tròn.
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, tính chất tiếp xúc của đường tròn, và các định lý về đường thẳng, điểm thẳng hàng. Việc sử dụng các kỹ năng biến đổi hình học, tìm mối liên hệ giữa các điểm và đường thẳng là rất quan trọng để giải quyết bài toán này. Độ khó của bài toán được đánh giá ở mức cao, đòi hỏi sự kiên nhẫn và tư duy sáng tạo.
Bài 2: Đại số
Cho số nguyên dương n và p là số nguyên tố lẻ. Giả sử n = qp + r với 0 ≤ r ≤ p − 1 và q nguyên dương. Đặt Sn = 1ⁿ + 2ⁿ + … + (p-1)ⁿ.
- a) Khi p = 3, chỉ ra một giá trị n nguyên dương lớn hơn 5 sao cho Sn chia hết cho p.
- b) Chứng minh rằng nếu p là ước của Sn thì q là số lẻ.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực đại số, cụ thể là lý thuyết số. Để giải quyết bài toán, học sinh cần nắm vững các kiến thức về số nguyên tố, đồng dư thức, và các tính chất của lũy thừa. Phần a yêu cầu học sinh phải thử nghiệm và tìm ra một giá trị n thỏa mãn điều kiện, trong khi phần b đòi hỏi học sinh phải chứng minh một mệnh đề tổng quát. Bài toán này có tính chất thử thách cao, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phân tích và suy luận logic.
Bài 3: Tổ hợp
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho có thể phân chia tập {1; 2; …; 3n} thành n tập con 3 phần tử rời nhau {a; b; c} sao cho b – a và c − b là các số khác nhau trong tập {n − 1; n; n + 1}.

Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp khá thú vị, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy về cấu trúc của tập hợp và các điều kiện ràng buộc. Để giải quyết bài toán, học sinh cần phải tìm hiểu các tính chất của tập hợp, các cách phân chia tập hợp, và các điều kiện về hiệu của các phần tử trong mỗi tập con. Bài toán này có tính ứng dụng cao, giúp học sinh rèn luyện khả năng giải quyết các vấn đề thực tế.

Hy vọng bộ đề này sẽ là một công cụ hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán sắp tới. giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật và chia sẻ nhiều tài liệu học tập chất lượng khác trong thời gian tới.