Giải Bài Toán Đề Chọn Đội Tuyển Thi Hsg Qg Môn Toán Thpt Năm 2024 – 2025 Sở Gd&đt Hà Tĩnh

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh tổ chức, diễn ra vào ngày 18 và 19 tháng 09 năm 2024. Đề thi này là một tài liệu tham khảo quý giá cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, đồng thời cũng là cơ sở để các thầy cô đánh giá năng lực học sinh và xây dựng kế hoạch ôn luyện phù hợp.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

Bài 1: Hình học
Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF. Gọi Ab là điểm đối xứng của B qua F, Ac là điểm đối xứng của C qua E. Gọi X là giao điểm của DE và AB, Y là giao điểm của DF và AC.
- a) Chứng minh rằng bốn điểm X, Y, Ab, Ac cùng thuộc một đường tròn.
- b) Gọi Bc là điểm đối xứng của C qua D, Ba là điểm đối xứng của A qua F, Ca là điểm đối xứng của A qua E, Cb là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AAbAc, BBcBa, CCaCb bằng nhau.
Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh có kiến thức vững chắc về đường tròn, đối xứng và các tính chất liên quan đến đường cao trong tam giác. Ý a tập trung vào việc chứng minh một tứ giác nội tiếp, đòi hỏi thí sinh phải tìm ra các góc bằng nhau hoặc sử dụng các tính chất của đường tròn. Ý b là một phần mở rộng, đòi hỏi sự tinh tế trong việc sử dụng các phép biến hình và chứng minh sự bằng nhau của các bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Bài 2: Đại số
Với x và y nguyên, x | y là ký hiệu y chia hết cho x.
- a) Có tồn tại hay không các số nguyên a, b, c lớn hơn 1 và thỏa mãn đồng thời ba tính chất: a | 2b – 1, b | 2c – 1 và c | 2a – 1.
- b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho ab | ba – 1.
Nhận xét: Bài toán đại số này tập trung vào việc vận dụng các tính chất chia hết và giải phương trình Diophantine. Ý a đòi hỏi thí sinh phải suy luận logic và sử dụng các tính chất của số nguyên tố để chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của các số thỏa mãn. Ý b là một bài toán tìm nghiệm nguyên, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật phân tích và ước lượng để tìm ra tất cả các cặp số thỏa mãn.
Bài 3: Tổ hợp
Với mỗi số nguyên dương n, đếm số cách điền các số 0, 1, …, 5 vào các ô của bảng ô vuông n x n thỏa mãn:
- a) Tổng các số trong mỗi hàng đều chia hết cho 2, còn tổng các số trong mỗi cột đều chia hết cho 3.
- b) Tương tự câu a, nhưng thêm điều kiện tổng các số trong mỗi đường chéo chính chia hết cho 6 (mỗi bảng ô vuông n x n có hai đường chéo chính).
Nhận xét: Bài toán tổ hợp này đòi hỏi thí sinh có kiến thức về các phép đếm và các tính chất chia hết. Ý a là một bài toán đếm cơ bản, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các nguyên lý tổ hợp để tính số cách điền thỏa mãn. Ý b là một bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi thí sinh phải kết hợp các điều kiện chia hết và sử dụng các kỹ thuật đếm nâng cao.

Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn khi bước vào kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia.