công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

giaibaitoan.com xin giới thiệu tuyển tập các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Việc nắm vững hệ thống công thức này là một thách thức do số lượng lớn và sự tương đồng giữa chúng. Tuy nhiên, việc học thuộc lòng sẽ giúp học sinh chủ động và tự tin hơn trong quá trình giải toán.

Dưới đây là tổng hợp chi tiết các công thức lượng giác quan trọng, được phân loại để dễ dàng tra cứu và sử dụng:

1. Tính chất tuần hoàn
   • \(\sin \alpha = \sin (\alpha + 2k\pi )\)
   • \(\cos \alpha = \cos (\alpha + 2k\pi )\)
   • \(\tan \alpha = \tan (\alpha + k\pi )\)
   • \(\cot \alpha = \cot (\alpha + k\pi )\)
2. Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt
   • a. Hai cung đối nhau:
     • \(\cos ( – \alpha ) = \cos \alpha \)
     • \(\sin ( – \alpha ) = – \sin \alpha \)
     • \(\tan ( – \alpha ) = – \tan \alpha \)
     • \(\cot ( – \alpha ) = – \cot \alpha \)
   • b. Hai cung bù nhau:
     • \(\sin (\pi – \alpha ) = \sin \alpha \)
     • \(\cos (\pi – \alpha ) = – \cos \alpha \)
     • \(\tan (\pi – \alpha ) = – \tan \alpha \)
     • \(\cot (\pi – \alpha ) = – \cot \alpha \)
   • c. Hai cung phụ nhau:
     • \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cos \alpha \)
     • \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha \)
     • \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cot \alpha \)
     • \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \tan \alpha \)
   • d. Hai cung hơn kém \(\pi \):
     • \(\sin (\pi + \alpha ) = – \sin \alpha \)
     • \(\cos (\pi + \alpha ) = – \cos \alpha \)
     • \(\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha \)
     • \(\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \)
   • e. Hai cung hơn kém \(\frac{\pi }{2}\):
     • \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha \)
     • \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = – \sin \alpha \)
     • \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = – \cot \alpha \)
     • \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = – \tan \alpha \)
3. Công thức lượng giác cơ bản
   • \(\sin ^2 a + \cos ^2 a = 1\)
   • \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\)
   • \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\)
   • \(1 + \tan ^2 a = \frac{1}{\cos ^2 a}\)
   • \(1 + \cot ^2 a = \frac{1}{\sin ^2 a}\)
   • \(\tan a \cot a = 1\)
4. Công thức cộng
   • \(\cos (a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
   • \(\cos (a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\)
   • \(\sin (a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a\)
   • \(\sin (a – b) = \sin a \cos b – \sin b \cos a\)
   • \(\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\)
   • \(\tan (a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}\)
5. Công thức nhân đôi
   • \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\)
   • \(\cos 2a = \cos ^2 a – \sin ^2 a = 2 \cos ^2 a – 1 = 1 – 2 \sin ^2 a\)
   • \(\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan ^2 a}\) \(\left( {a \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \right)\)
   • \(\cot 2a = \frac{\cot ^2 a – 1}{2 \cot a}\) \(\left( {a \ne k\frac{\pi }{2}} \right)\)
6. Công thức nhân ba
   • \(\sin 3a = 3 \sin a – 4 \sin ^3 a\)
   • \(\cos 3a = 4 \cos ^3 a – 3 \cos a\)
   • \(\tan 3a = \frac{3 \tan a – \tan ^3 a}{1 – 3 \tan ^2 a}\) \(\left( {a \ne \frac{\pi }{6} + k\pi } \right)\)
   • \(\cot 3a = \frac{3 \cot ^2 a – 1}{\cot ^3 a – 3 \cot a}\) \(\left( {a \ne k\frac{\pi }{3}} \right)\)
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
   • \(\cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a – b) + \cos (a + b)]\)
   • \(\sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a – b) – \cos (a + b)]\)
   • \(\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a – b)]\)
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
   • \(\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a – b}{2}\)
   • \(\cos a – \cos b = – 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a – b}{2}\)
   • \(\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a – b}{2}\)
   • \(\sin a – \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a – b}{2}\)
   • \(\cos a + \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right)\)
   • \(\cos a – \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right)\)
   • \(\tan a + \tan b = \frac{\sin (a + b)}{\cos a \cos b}\)
   • \(\tan a – \tan b = \frac{\sin (a – b)}{\cos a \cos b}\)
   • \(\cot a + \cot b = \frac{\sin (a + b)}{\sin a \sin b}\)
   • \(\cot a – \cot b = \frac{\sin (b – a)}{\sin a \sin b}\)
   • \(\cot a + \tan a = \frac{2}{\sin 2a}\)
   • \(\cot a – \tan a = 2 \cot 2a\)
9. Công thức hạ bậc
   • \(\cos ^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}\)
   • \(\sin ^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}\)
   • \(\tan ^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{1 + \cos 2a}\)
   • \(\sin ^2 a \cos ^2 a = \frac{1 – \cos 4a}{8}\)
   • \(\cos ^3 a = \frac{3 \cos a + \cos 3a}{4}\)
   • \(\sin ^3 a = \frac{3 \sin a – \sin 3a}{4}\)
   • \(\sin ^4 a = \frac{\cos 4a – 4 \cos 2a + 3}{8}\)
   • \(\cos ^4 a = \frac{\cos 4a + 4 \cos 2a + 3}{8}\)
10. Công thức biến đổi theo \(\tan \frac{a}{2}\)

    Đặt \(t = \tan \frac{a}{2}\) với \({a \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\), \({\frac{a}{2} \ne \frac{\pi }{4} + k\pi }.\) Ta có:

    • \(\cos a = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}\)
    • \(\sin a = \frac{2t}{1 + t^2}\)
    • \(\tan a = \frac{2t}{1 – t^2}\)
11. Tập nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
    • \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v + k2\pi } \\ {u = \pi – v + k2\pi } \end{array}} \right.\)
    • \(\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = v + k2\pi } \\ {u = – v + k2\pi } \end{array}} \right.\)
    • \(\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \)
    • \(\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi \)

    Trường hợp đặc biệt:

    • \(\sin u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi \)
    • \(\sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
    • \(\sin u = – 1 \Leftrightarrow u = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
    • \(\cos u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
    • \(\cos u = 1 \Leftrightarrow u = k2\pi \)
    • \(\cos u = – 1 \Leftrightarrow u = \pi + k2\pi \)

Lưu ý: Một số điều kiện về các ẩn số đã được lược bỏ để bài viết trở nên cô đọng, dễ dàng tra cứu.