Giải Bài Toán Hệ Thống Bài Tập Trắc Nghiệm Vận Dụng Cao, Phân Loại Nguyên Hàm, Tích Phân

Tuyển tập bài tập trắc nghiệm vận dụng cao Nguyên hàm - Tích phân: Đánh giá chi tiết và phân tích chuyên sâu

Tài liệu gồm 21 trang do thầy giáo Lương Tuấn Đức (Giang Sơn) biên soạn là một nguồn tài liệu quý giá dành cho học sinh chuyên Toán và những học sinh có mong muốn nâng cao kiến thức chương trình Giải tích 12, đặc biệt là chương 3 về Nguyên hàm - Tích phân. Tài liệu tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài tập trắc nghiệm vận dụng cao, phân loại theo chủ đề Nguyên hàm và Tích phân (không đề cập đến ứng dụng của tích phân). Đây là một lựa chọn lý tưởng để học sinh ôn luyện, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Điểm mạnh của tài liệu nằm ở việc tập trung vào các bài toán đòi hỏi tư duy, kỹ năng biến đổi và kết hợp kiến thức. Các bài tập không chỉ kiểm tra việc học thuộc công thức mà còn đánh giá khả năng vận dụng linh hoạt các định lý, tính chất của Nguyên hàm - Tích phân vào giải quyết các vấn đề phức tạp.

Dưới đây là phân tích chi tiết một số bài tập tiêu biểu được trích dẫn:

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn 2f(x)f'(x) + 108x^2 = (8x + 9)f(x) + (4x^2 + 9x)f'(x). Tính ∫[4f(x) + 9f'(x)]dx biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) đi qua gốc tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị luôn cắt trục hoành.
Nhận xét: Đây là một bài toán tích hợp nhiều kiến thức. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần biến đổi phương trình vi phân đã cho về dạng quen thuộc, sau đó sử dụng phương pháp tích phân để tìm ra f(x). Việc sử dụng thông tin về đồ thị hàm số (đi qua gốc tọa độ, tiếp tuyến cắt trục hoành) là chìa khóa để xác định các hằng số tích phân. Bài toán đòi hỏi sự linh hoạt trong việc sử dụng các kỹ thuật đại số và giải tích.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x), hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f'(x) trên đoạn [-2;1] và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f (1) = 3, giá trị biểu thức f (-2) + f (4) bằng?
Nhận xét: Bài toán này khai thác sâu sắc mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f'(x) và trục Ox chính là giá trị của tích phân ∫f'(x)dx. Sử dụng định lý cơ bản của tích phân, học sinh có thể tính được f(4) - f(-2). Kết hợp với f(1) = 3, ta có thể tìm ra giá trị của f(-2) + f(4). Bài toán này rèn luyện kỹ năng đọc hiểu đồ thị và vận dụng các tính chất của tích phân.
Bài toán 3: Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f'(x) ≥ x^4 + 2/x^2 – 2x với x > 0 và f (1) = -1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phương trình f(x) có một nghiệm trên (0;1).
B. Phương trình f(x) có đúng ba nghiệm trên (0;+vc).
C. Phương trình f(x) có một nghiệm trên (1;2).
D. Phương trình f(x) có một nghiệm trên (2;5).
Nhận xét: Đây là một bài toán sử dụng bất đẳng thức và tính đơn điệu của hàm số. Bằng cách tích phân bất đẳng thức f'(x) ≥ x^4 + 2/x^2 – 2x, ta có thể tìm được một chặn dưới cho f(x). Sau đó, sử dụng định lý về dấu của hàm số và tính liên tục của f(x), ta có thể suy ra sự tồn tại của nghiệm trong các khoảng cho trước. Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về mối liên hệ giữa đạo hàm, tích phân và tính đơn điệu của hàm số.

Đánh giá chung:

Tài liệu của thầy Lương Tuấn Đức là một nguồn tài liệu luyện tập chất lượng cao, phù hợp với học sinh có mục tiêu đạt điểm tốt trong kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Các bài tập được chọn lọc kỹ lưỡng, có độ khó cao và đòi hỏi tư duy sáng tạo. Việc giải các bài tập trong tài liệu này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán trắc nghiệm trong kỳ thi.