Giải Bài Toán Đề Thi Hk1 Toán 12 Năm 2019 – 2020 Trường Thpt Nguyễn Thị Minh Khai – Tp Hcm

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 bộ tài liệu ôn tập hữu ích cho kỳ thi học kỳ 1 môn Toán. Tài liệu này bao gồm đề thi, đáp án và lời giải chi tiết của đề thi học kỳ 1 Toán 12 năm học 2019 – 2020 trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, thành phố Hồ Chí Minh. Đây là một nguồn tham khảo giá trị, giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập thường gặp và tự đánh giá năng lực của bản thân.

Dưới đây là trích dẫn một số câu hỏi tiêu biểu từ đề thi, kèm theo phân tích và nhận xét về mức độ khó, phương pháp giải quyết:

Bài toán về sự phân rã phóng xạ: "Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức m(t) = m0.e^λt (λ = ln2/T), trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t; T là chu kỳ bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy rằng khối lượng carbon phóng xạ ¹⁴C₆ trong mẫu gỗ đó đã mất 35% so với lượng ¹⁴C₆ ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm? Biết chu kỳ bán rã của ¹⁴C₆ là khoảng 5730 năm."
Nhận xét: Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của hàm số mũ và logarit, đòi hỏi học sinh phải nắm vững công thức tính sự phân rã phóng xạ và khả năng chuyển đổi bài toán thành phương trình toán học để giải quyết. Mức độ khó của bài toán ở mức độ trung bình, phù hợp để kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế.
Phương pháp giải: Xác định khối lượng còn lại của ¹⁴C₆ sau khi mất 35% (tức là còn 65%). Sử dụng công thức m(t) = m₀.e^λt và thay các giá trị đã biết (m(t) = 0.65m₀, λ = ln2/5730) để tìm t, là niên đại của công trình kiến trúc.
Bài toán tối ưu hóa hình học: "Một toán công nhân cần xây một hố ga không nắp có dạng hình hộp chữ nhật với thể tích 3,2 (m³); chiều cao của hố ga gấp đôi chiều rộng của đáy hố ga. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?"
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán tối ưu hóa, yêu cầu học sinh phải thiết lập được hàm số biểu diễn diện tích bề mặt của hố ga (diện tích cần tối thiểu hóa) theo các biến số và sử dụng các phương pháp giải tích (đạo hàm) để tìm giá trị tối thiểu. Mức độ khó của bài toán ở mức độ khá, đòi hỏi học sinh có tư duy logic và kỹ năng giải toán tốt.
Phương pháp giải: Gọi chiều rộng đáy hố ga là x (m), chiều dài đáy hố ga là y (m). Chiều cao hố ga là 2x (m). Thiết lập phương trình thể tích: V = x.y.2x = 3.2. Từ đó, biểu diễn y theo x. Thiết lập hàm số diện tích bề mặt: S = xy + 2x.2x + 2y.2x. Thay y theo x vào hàm số S và tìm giá trị x để S đạt giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đạo hàm.
Bài toán tối ưu hóa hình học không gian: "Từ một miếng tôn hình tròn có bán kính R = 9 cm, người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành một hình nón (như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi độ dài cung tròn của hình quạt tạo thành hình nón có giá trị bằng?"
Nhận xét: Đây là một bài toán tối ưu hóa kết hợp kiến thức về hình học không gian và hình học phẳng. Bài toán đòi hỏi học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa bán kính hình tròn ban đầu, bán kính đáy hình nón, chiều cao hình nón và độ dài cung tròn. Mức độ khó của bài toán ở mức độ cao, đòi hỏi học sinh có khả năng tư duy sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Phương pháp giải: Gọi độ dài cung tròn bị cắt bỏ là l. Khi đó, độ dài cung tròn còn lại là 2πR - l. Độ dài cung tròn này trở thành chu vi đáy của hình nón. Từ đó, tìm được bán kính đáy hình nón. Chiều cao hình nón được tính theo bán kính hình tròn ban đầu và bán kính đáy hình nón. Thiết lập hàm số thể tích hình nón và tìm giá trị l để thể tích hình nón đạt giá trị lớn nhất bằng phương pháp đạo hàm.