Giải Bài Toán Đề Thi Hk1 Toán 10 Năm Học 2016 – 2017 Sở Gd Và Đt Vĩnh Phúc

Chào mừng các bạn đến với chuyên mục phân tích đề thi và phương pháp giải toán! Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào một số bài toán trích từ đề thi, phân tích độ khó, phương pháp tiếp cận và đưa ra những nhận xét chuyên sâu để giúp các bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.

Bài toán 1: Vectơ trong hình học

Đề bài: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Độ dài của tổng hai vectơ AB và BC bằng bao nhiêu?

Phân tích: Bài toán này kiểm tra kiến thức cơ bản về vectơ, đặc biệt là quy tắc cộng vectơ và ứng dụng trong hình học. Để giải quyết bài toán, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa hình học của phép cộng vectơ. Tổng của hai vectơ AB và BC có thể được biểu diễn bằng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc cộng vectơ: AB + BC = AC
Vì tam giác ABC đều có cạnh a, nên AC = a
Vậy, độ dài của tổng hai vectơ AB và BC bằng a.

Đánh giá: Đây là một bài toán tương đối dễ, phù hợp để kiểm tra kiến thức nền tảng về vectơ. Điểm quan trọng là học sinh cần nắm vững quy tắc cộng vectơ và biết cách áp dụng vào hình học.

Bài toán 2: Tập hợp và xác suất (Ứng dụng vào bài toán đếm)

Đề bài: Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 em biết chơi bóng chuyền, 25 em biết chơi bóng đá, 10 em biết chơi cả bóng đá và bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em không biết chơi môn nào trong hai môn ở trên?

Phân tích: Bài toán này thuộc dạng bài toán đếm sử dụng công thức bao hàm và loại trừ. Chúng ta cần xác định số lượng học sinh chơi ít nhất một trong hai môn, sau đó trừ đi số lượng học sinh đó khỏi tổng số học sinh trong lớp để tìm ra số lượng học sinh không chơi môn nào.

Lời giải:

Gọi A là tập hợp học sinh biết chơi bóng chuyền, B là tập hợp học sinh biết chơi bóng đá.
|A| = 30, |B| = 25, |A ∩ B| = 10
Số học sinh chơi ít nhất một trong hai môn là: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = 30 + 25 - 10 = 45
Số học sinh không chơi môn nào là: 50 - 45 = 5

Đánh giá: Bài toán này có độ khó trung bình, đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về tập hợp, các phép toán trên tập hợp và công thức bao hàm – loại trừ. Việc vẽ sơ đồ Venn có thể giúp học sinh hình dung rõ hơn về bài toán.

Bài toán 3: Hình học giải tích – Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Đề bài: Để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = m(x-1) + 2 lớn nhất thì giá trị của m là?

Phân tích: Bài toán này kết hợp kiến thức về phương trình đường thẳng và công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Để tìm giá trị của m sao cho khoảng cách lớn nhất, chúng ta cần biểu diễn khoảng cách theo m và tìm giá trị m làm cho biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Viết lại phương trình đường thẳng d dưới dạng tổng quát: mx - y - m + 2 = 0
Khoảng cách từ O(0,0) đến d là: d = |m(0) - 0 - m + 2| / √(m² + (-1)²) = |2 - m| / √(m² + 1)
Để tìm giá trị của m làm cho d lớn nhất, ta xét hàm số f(m) = (2 - m) / √(m² + 1).
Sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc đánh giá trực tiếp, ta thấy khoảng cách đạt giá trị lớn nhất khi m = -1.

Đánh giá: Đây là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hình học giải tích, đặc biệt là công thức tính khoảng cách và kỹ năng giải quyết bài toán tối ưu. Việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số là một phương pháp hiệu quả.

Hy vọng những phân tích trên sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về các bài toán và có thêm động lực để học tập và rèn luyện kỹ năng giải toán. Chúc các bạn thành công!