Giải Bài Toán Đề Thi Giữa Hk1 Toán 10 Chuyên Năm 2020 – 2021 Trường Chuyên Hà Nội – Amsterdam

Phân tích Đề Thi Giữa Học Kỳ 1 Toán 10 Chuyên – Trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam (2020-2021)

Ngày 28 tháng 10 năm 2020, trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam đã tổ chức kỳ kiểm tra chất lượng giữa học kỳ 1 môn Toán dành cho học sinh lớp 10 chuyên khóa 2020-2021. Đề thi có cấu trúc gồm 03 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 60 phút. Nhìn chung, đề thi đánh giá khả năng nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh chuyên Toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán và nhận xét đánh giá:

Bài toán 1: Hình học vectơ

Cho tam giác ABC, với các điểm D và I xác định bởi các hệ thức vectơ: 3DB – 2DC = 0 và IA + 3IB – 2IC = 0.

Câu a: Chứng minh A, I, D thẳng hàng.

Đây là một câu hỏi cơ bản về chứng minh ba điểm thẳng hàng sử dụng phương pháp vectơ. Học sinh cần biến đổi các hệ thức vectơ đã cho để biểu diễn một vectơ bằng một bội số của vectơ khác, từ đó suy ra ba điểm thẳng hàng. Đây là một kỹ năng quan trọng trong hình học vectơ.

Câu b: Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn |MA + 3MB – 2MC| = |2MA – MB – MC|.

Câu này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ về ý nghĩa hình học của phép cộng và trừ vectơ, cũng như khái niệm về giá trị tuyệt đối của vectơ. Việc giải quyết bài toán này thường liên quan đến việc sử dụng các tính chất của trung điểm, trọng tâm và các điểm đặc biệt khác của tam giác.

Câu c: Gọi E và F lần lượt là các điểm thuộc tia AB, AC thỏa mãn AB = (2k + 1)AE và AC = (k – 2)AF (k > 2). Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi k thay đổi.

Đây là câu khó nhất trong bài toán 1, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng và kỹ năng tìm điểm cố định. Học sinh cần biểu diễn vectơ AE và AF theo vectơ AB và AC, sau đó tìm mối liên hệ giữa các vectơ này để chứng minh đường thẳng EF đi qua một điểm cố định.

Bài toán 2: Tổ hợp

Cho ánh xạ f: A → B, trong đó A = {1; 2; 3; 4} và B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Câu a: Tính số ánh xạ f thỏa mãn điều kiện f là đơn ánh và f(1) < f(2) < f(3) < f(4).

Câu này kiểm tra kiến thức về ánh xạ đơn ánh và tổ hợp chập k của n. Học sinh cần hiểu rằng việc chọn 4 phần tử từ tập B sao cho chúng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần tương ứng với f(1), f(2), f(3), f(4) là một tổ hợp chập 4 của 10. Do đó, số ánh xạ thỏa mãn là C⁴₁₀.

Câu b: Tính số ánh xạ f thỏa mãn |f(i) – f(j)| > 1 với mọi i, j thuộc A, i khác j.

Đây là một câu hỏi khó, đòi hỏi học sinh phải có tư duy tổ hợp cao. Học sinh cần tìm cách đếm số ánh xạ thỏa mãn điều kiện đã cho bằng cách sử dụng nguyên lý bù trừ hoặc các kỹ thuật đếm nâng cao khác. Bài toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Đánh giá chung:

Đề thi giữa học kỳ 1 Toán 10 chuyên trường Hà Nội – Amsterdam năm 2020-2021 có độ khó tương đối cao, phân loại rõ ràng học sinh. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi tập trung vào các chủ đề quan trọng như hình học vectơ, tổ hợp và các ứng dụng của chúng. Đây là một đề thi tốt để đánh giá năng lực của học sinh chuyên Toán và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi.