Giải Bài Toán Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia Môn Toán Thpt Năm Học 2024

giaibaitoan.com xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025. Kỳ thi chính thức diễn ra vào ngày 25/12/2024 và 26/12/2024. Điểm đặc biệt của bộ đề này là đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học và ôn luyện hiệu quả.

Bộ đề năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức nền tảng vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm hình học tổ hợp, đại số và số học, nhằm kiểm tra toàn diện năng lực của học sinh. Dưới đây là nội dung chi tiết của một số câu hỏi tiêu biểu:

Bài toán 1: Bảng ô vuông và viên bi
Cho một bảng ô vuông 3k × 3k (k là số nguyên dương), các ô được đánh tọa độ (i; j) với i là cột, j là hàng. Đặt 4k viên bi vào bảng sao cho mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn:
- Mỗi hàng và mỗi cột có ít nhất một viên bi.
- Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.
Yêu cầu:
- a) Xét k = 1. Tính số cách đặt bi thỏa mãn điều kiện.
- b) Xét k > 1 tổng quát. Xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại cách đặt 4k viên bi thỏa mãn điều kiện mà không có viên bi nào đặt ở ô đã đánh dấu.
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng tổ hợp có điều kiện, đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật đếm và phân tích cấu trúc của bảng ô vuông. Việc xét k = 1 là bước khởi đầu quan trọng để tìm ra quy luật và hướng giải quyết cho trường hợp tổng quát.
Bài toán 2: Đa thức và dãy số
Xét đa thức P(x) = x⁴ − x³ + x.

Yêu cầu:
- a) Chứng minh rằng với mọi số dương a, P(x) − a có duy nhất một nghiệm dương.
- b) Xét dãy số (a_n) với a₁ = 1/3 và a_n+1 là nghiệm dương của P(x) − a_n. Chứng minh dãy (a_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức và dãy số. Việc chứng minh tính đơn điệu và bị chặn của dãy số là chìa khóa để tìm ra giới hạn của nó. Phân tích đạo hàm của P(x) có thể hỗ trợ trong việc chứng minh tính đơn điệu.
Bài toán 3: Số nguyên và đồng dư thức
Với mỗi số nguyên n > 0, đặt u_n = (2 + √5)ⁿ + (2 − √5)ⁿ.

Yêu cầu:
- a) Chứng minh u_n là số nguyên dương với mọi n > 0. Tìm số dư lớn nhất của u_n khi chia cho 24.
- b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) với a, b < 500 sao cho với mọi n lẻ, u_n ≡ aⁿ − bⁿ (mod 1111).
Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về số học, đặc biệt là công thức nhị thức Newton và đồng dư thức. Việc sử dụng tính chất đối xứng của u_n và phân tích các thừa số nguyên tố của 24 và 1111 sẽ giúp đơn giản hóa bài toán.

Bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 là một tài liệu tham khảo quý giá cho học sinh và giáo viên trong quá trình chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi. giaibaitoan.com hy vọng rằng bộ đề này sẽ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Toán học và phát triển tài năng trẻ của đất nước.